بخشپذیری چندجملهایها: وقتی همه چیز دقیق تقسیم میشود
از تقسیم اعداد تا تقسیم چندجملهایها
بخشپذیری یعنی چه؟ یک یادآوری ساده
فرض کنید 15 عدد آبنبات دارید و میخواهید آن را بین 5 دوست به طور مساوی تقسیم کنید. هر دوست 3 آبنبات میگیرد و چیزی باقی نمیماند. میگوییم 15 بر 5 «بخشپذیر» است یا 5، 15 را «عیناً تقسیم میکند». در ریاضیات، وقتی عدد a بر عدد b تقسیم شود و باقیمانده صفر شود، مینویسیم: $b \mid a$.
حالا این ایده را به چندجملهایها ببریم. یک چندجملهای مثل $P(x)$ داریم و یک چندجملهای دیگر مثل $D(x)$. اگر بتوان $P(x)$ را بر $D(x)$ تقسیم کرد و باقیمانده صفر شد، میگوییم $D(x)$، $P(x)$ را عیناً تقسیم میکند یا $D(x)$ یک «عامل»4 یا «فاکتور» $P(x)$ است.
$P(x) = D(x) \times Q(x) + R(x)$
شرط بخشپذیری این است که $R(x) = 0$. در این صورت داریم: $P(x) = D(x) \times Q(x)$.
چگونه بفهمیم یک چندجملهای بر دیگری بخشپذیر است؟
برای تشخیص بخشپذیری، چند روش کاربردی وجود دارد که دو تا از مهمترینها در جدول زیر آمده است:
| نام روش | شرح روش | مثال ملموس |
|---|---|---|
| تقسیم طولانی (ستونی) | دقیقاً مشابه تقسیم اعداد چندرقمی، چندجملهایها را در کنار هم مینویسیم و مرحله به مرحله تقسیم میکنیم تا به باقیمانده برسیم. | تقسیم $(x^2 + 5x + 6)$ بر $(x + 2)$. مانند تقسیم 156 بر 12. |
|
قضیه باقیمانده
روش سریع |
اگر بخواهیم بفهمیم $P(x)$ بر $(x - a)$ بخشپذیر است یا نه، کافی است مقدار $P(a)$ را حساب کنیم. اگر $P(a) = 0$ باشد، یعنی بخشپذیر است. | بررسی بخشپذیری $x^2 - 4$ بر $(x - 2)$. عدد 2 را جای x میگذاریم: $2^2 - 4 = 0$. پس بخشپذیر است. |
مثال عددی: آیا $x^2 + 2x - 3$ بر $(x - 1)$ بخشپذیر است؟ با قضیه باقیمانده: $P(1) = (1)^2 + 2(1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$. بله، بخشپذیر است.
کاربرد بخشپذیری: از فاکتورگیری تا حل مسئله
شناخت بخشپذیری، کلید حل بسیاری از مسائل جبر است. مهمترین کاربردهای آن عبارتند از:
۱. فاکتورگیری (سادهسازی عبارات): اگر بدانیم $D(x)$، $P(x)$ را تقسیم میکند، میتوانیم $P(x)$ را به صورت حاصلضرب $D(x) \times Q(x)$ بنویسیم. این کار محاسبات را بسیار ساده میکند.
مثال: میدانیم $x^2 - 9$ بر $(x - 3)$ بخشپذیر است (چرا؟). پس میتوان آن را فاکتور گرفت: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.
۲. پیدا کردن ریشههای معادله: اگر چندجملهای $P(x)$ بر $(x - a)$ بخشپذیر باشد، آنگاه $x = a$ یک «ریشه» یا جواب معادله $P(x) = 0$ است.
مثال عینی از زندگی: فرض کنید مساحت یک باغچه مربعشکل با فرمول $A = x^2 + 6x + 9$ مترمربع داده شده است. آیا میتوان این باغچه را به صورت مربعی کامل در نظر گرفت؟ اگر بله، طول ضلع آن چقدر است؟ پاسخ در بخشپذیری و فاکتورگیری نهفته است: $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$. پس این عبارت بر $(x + 3)$ بخشپذیر است و باغچه یک مربع با ضلع $(x + 3)$ متر است.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: خیر. در چندجملهایها، اندازه به مفهوم درجه5 چندجملهای است. وقتی باقیمانده صفر میشود، درجه خارجقسمت $Q(x)$ برابر است با تفاضل درجه مقسوم $P(x)$ و درجه مقسومعلیه $D(x)$. هیچگاه شرط «کوچکتر بودن» به شکل اعداد وجود ندارد.
پاسخ: درست است. قضیه باقیمانده برای مقسومعلیههای خطی (درجه یک) مثل $(x - a)$ کاربرد مستقیم دارد. برای مقسومعلیههای با درجه بالاتر، باید از تقسیم طولانی یا روشهای دیگر مثل فاکتورگیری ویژه استفاده کرد.
پاسخ: زیرا پایه و اساس سادهسازی عبارات جبری، حل معادلات و حتی در سطح بالاتر، درک نمودار توابع است. اگر بتوانید یک چندجملهای را به عوامل سادهتر بشکنید، کار با آن بسیار راحتتر میشود.
پاورقی
1 چندجملهای (Polynomial): عبارتهای جبری که از جمع و تفریق چند جمله (که هر جمله شامل ضریب و متغیر با توان عدد صحیح غیرمنفی است) تشکیل شدهاند؛ مانند $3x^2 + 2x - 5$.
2 قضیه باقیمانده (Remainder Theorem): اگر چندجملهای $P(x)$ بر $(x - a)$ تقسیم شود، باقیمانده برابر $P(a)$ است.
3 فاکتورگیری (Factoring): نوشتن یک عبارت به صورت حاصلضرب چند عبارت سادهتر.
4 عامل (Factor): در اینجا به معنی مقسومعلیهای است که باقیمانده تقسیم را صفر میکند.
5 درجه (Degree): بزرگترین توان متغیر در یک چندجملهای. مثلاً درجه $4x^3 - 2x + 1$ برابر 3 است.
