فاکتورگیری برای سادهسازی عبارتهای گویا: بیرون کشیدن عامل مشترک
عبارت گویا چیست و چرا باید آن را ساده کنیم؟
به زبان ساده، یک عبارت گویا، کسری است که هم صورت و هم مخرج آن، چندجملهای هستند. دقیقاً مانند کسرهای معمولی که در ابتدای درس ریاضی یاد گرفتید. مثلاً $\frac{2x+4}{3x+6}$ یک عبارت گویا است.
سادهسازی این کسرها دو فایدهٔ اصلی دارد: اول، کار با آنها (جمع، تفریق، ضرب و تقسیم) را بسیار راحتتر میکند. دوم، پیدا کردن مقدار عددی عبارت را برای مقادیر مختلف متغیر آسان میسازد. اما یک قانون طلایی همیشه وجود دارد: قبل از هر کاری، باید مقادیری از متغیر را که مخرج را صفر میکنند، پیدا و از آنها اجتناب کنیم، زیرا تقسیم بر صفر تعریف نشده است.
اولین قدم قدرتمند: بیرون کشیدن عامل مشترک
بیرون کشیدن عامل مشترک، سادهترین نوع فاکتورگیری است. فرض کنید میخواهید یک اتاق را مرتب کنید. به جای جابجا کردن تکتک کتابهای پراکنده، آنها را در چند جعبه دستهبندی میکنید. بیرون کشیدن عامل مشترک دقیقاً همین کار را با اعداد و متغیرها انجام میدهد. شما در واقع بزرگترین عدد یا متغیری را که در تمام جملهها وجود دارد، پیدا کرده و آن را از پرانتز بیرون میکشید.
| گام | توضیح | مثال عددی | مثال جبری |
|---|---|---|---|
| ۱. شناسایی | عامل (عدد یا حرف) که در همهٔ جملهها وجود دارد را پیدا کن. | در ۶ + ۹، عامل مشترک ۳ است. | در $5x^2 + 10x$، عامل مشترک $5x$ است. |
| ۲. بیرون کشیدن | عامل مشترک را در جلوی پرانتز بنویس و داخل پرانتز، حاصل تقسیم هر جمله بر آن عامل را قرار بده. | ۶ + ۹ = ۳ × (۲ + ۳) | $5x^2 + 10x = 5x(x + 2)$ |
| ۳. بررسی | با ضرب کردن عامل در عبارت داخل پرانتز، مطمئن شو که به عبارت اولیه برمیگردی. | ۳ × (۲ + ۳) = ۳×۵ = ۱۵ ✔ | $5x(x+2) = 5x^2+10x$ ✔ |
سادهسازی عبارت گویا با فاکتورگیری مشترک: یک مثال ملموس
تصور کنید شما و دوستتان قرار است یک پیتزای مستطیلی را تقسیم کنید. پیتزا به صورت $\frac{4x+8}{2x+4}$ برش خورده است. چگونه میتوان سهم هر نفر را سادهتر بیان کرد؟
گامبهگام با مثال پیتزا:
گام ۱: فاکتورگیری از صورت و مخرج به طور جداگانه.
صورت: $4x+8$. بزرگترین عامل مشترک، عدد ۴ است. پس: $4x+8 = 4(x+2)$.
مخرج: $2x+4$. بزرگترین عامل مشترک، عدد ۲ است. پس: $2x+4 = 2(x+2)$.
گام ۲: بازنویسی کسر با عاملهای گرفته شده.
عبارت ما میشود: $\frac{4(x+2)}{2(x+2)}$.
گام ۳: حذف عامل مشترک. میبینیم که $(x+2)$ هم در صورت و هم در مخرج ضرب شده است. پس میتوانیم آن را حذف کنیم. توجه: برای حذف، باید $x \neq -2$ باشد (چون مخرج اولیه را صفر میکند).
پس داریم: $\frac{4 \cancel{(x+2)}}{2 \cancel{(x+2)}} = \frac{4}{2}$.
گام ۴: سادهسازی نهایی: $\frac{4}{2} = 2$.
یعنی سهم هر نفر از پیتزا معادل ۲ واحد است. این بسیار سادهتر از عبارت اولیه است!
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاورقی
1فاکتورگیری (Factoring): تجزیه یک عبارت ریاضی به حاصل ضرب عبارات سادهتر.
2عبارت گویا (Rational Expression): کسری که صورت و مخرج آن هر دو چندجملهای باشند.
3عامل مشترک (Common Factor): عدد، متغیر یا عبارتی که به طور یکسان در تمام جملههای یک عبارت ضرب شده باشد.
