دستگاه معادلهٔ خطی: مجموعهٔ دو معادلهٔ خطی با دو مجهول

دستگاه معادلات خطی: کلید حل مسائل دو مجهولی

دستگاه معادلات خطی چیست؟

تا الآن معادله‌هایی مثل $2x + y = 8$ را حل کرده‌اید. در این معادله، دو مجهول x و y وجود دارند. اما آیا با یک معادله می‌توان جواب قطعی برای هر دو پیدا کرد؟ خیر! بی‌نهایت جواب ممکن است. اما اگر یک معادلهٔ خطی² دیگر هم داشته باشیم که ارتباط دیگری بین همین x و y بیان کند، چه؟ اینجاست که مفهوم دستگاه به وجود می‌آید.

یک دستگاه معادلات خطی با دو مجهول، مجموعه‌ای از دو معادله است که باید هم‌زمان برقرار باشند. جواب دستگاه، یک زوج مرتب³ مانند (x , y) است که در هر دو معادله صدق کند. شکل استاندارد این معادلات به این صورت است:

انواع دستگاه‌ها از نظر تعداد جواب

هر دستگاه معادلات خطی یکی از سه حالت زیر را دارد که در جدول زیر خلاصه شده‌اند:

روش‌های حل دستگاه: از حذف تا جایگزینی

برای حل دستگاهی که جواب یکتا دارد، دو روش اصلی وجود دارد. برای درک بهتر، یک مثال واقعی را با هم حل می‌کنیم:

مسئله: علی برای خرید 2 بسته مداد و 3 خودکار، 11000 تومان و برای خرید 3 بسته مداد و 1 خودکار، 9500 تومان پرداخته است. قیمت یک بسته مداد و یک خودکار چقدر است؟

می‌توانیم مجهول‌ها را این‌طور تعریف کنیم: قیمت هر بسته مداد = x تومان، قیمت هر خودکار = y تومان. بنابراین دستگاه معادلات ما می‌شود:

روش اول: حل به روش جایگزینی (حذف یک مجهول)

در این روش، از یک معادله، یک مجهول را برحسب دیگری پیدا کرده و در معادلهٔ دیگر جایگزین می‌کنیم.

1. از معادلهٔ دوم، $y$ را پیدا می‌کنیم: $y = 9500 - 3x$.
2. این مقدار $y$ را در معادلهٔ اول جایگزین می‌کنیم:
   $2x + 3(9500 - 3x) = 11000$
3. معادله را حل می‌کنیم:
   $2x + 28500 - 9x = 11000$
   $-7x = 11000 - 28500$
   $-7x = -17500$ → $x = 2500$
4. حالا $x=2500$ را در یکی از معادلات اصلی (مثلاً $y = 9500 - 3x$) جایگزین می‌کنیم:
   $y = 9500 - 3(2500) = 9500 - 7500 = 2000$

پس جواب دستگاه $(2500 , 2000)$ است. یعنی هر بسته مداد 2500 تومان و هر خودکار 2000 تومان است.

روش دوم: حل به روش حذف (جمع جبری)

در این روش، ضرایب یکی از مجهول‌ها را در دو معادله طوری برابر (یا مقابل) می‌کنیم که با جمع یا تفریق دو معادله، آن مجهول حذف شود.

1. معادلات را می‌نویسیم:
   $(1) \; 2x + 3y = 11000$
   $(2) \; 3x + y = 9500$
2. برای حذف $y$، معادلهٔ (2) را در 3 ضرب می‌کنیم تا ضریب $y$ با معادلهٔ اول برابر شود:
   $(2) \times 3 \rightarrow 9x + 3y = 28500$
3. حال معادلهٔ (1) را از معادلهٔ جدید کم می‌کنیم:
   $(9x + 3y) - (2x + 3y) = 28500 - 11000$
   $7x = 17500$ → $x = 2500$
4. مانند روش قبل، $x=2500$ را در یکی از معادلات جایگزین کرده و $y=2000$ را به دست می‌آوریم.

کاربرد دستگاه معادلات در برنامه‌ریزی و مدیریت

فرض کنید می‌خواهید با بودجه‌ای محدود برای یک اردوی مدرسه، هم نوشابه و هم آبمیوه بخرید. اگر قیمت هر بطری نوشابه و آبمیوه را بدانید و کل تعداد بطری‌ها و کل هزینه را داشته باشید، دقیقاً با یک دستگاه معادلات خطی روبرو هستید که به شما می‌گوید چند بطری از هرکدام را می‌توانید بخرید. یا در مدیریت هزینه‌های شخصی، اگر بدانید کل پول شما از دو منبع (مثلاً پول تو جیبی و درآمد کار کوچک) چقدر است و نسبت خرج کردن‌تان در دو بخش متفاوت چگونه است، باز هم می‌توانید با یک دستگاه، مقدار پول از هر منبع را حساب کنید.

اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم

پاورقی

¹ دستگاه معادلات خطی (System of Linear Equations): مجموعه‌ای از معادلات خطی که باید هم‌زمان برقرار باشند.
² معادلهٔ خطی (Linear Equation): معادله‌ای که هر جمله‌ی آن یا یک ثابت است یا حاصل ضرب یک ثابت در متغیر با توان یک.
³ زوج مرتب (Ordered Pair): جفت‌ای از اعداد مانند (x , y) که ترتیب نوشتن آن‌ها مهم است و معمولاً نشان‌دهندهٔ مختصات یک نقطه است.
⁴ عرض از مبدأ (Constant Term): عدد ثابتی که در سمت راست معادلهٔ خطی قرار می‌گیرد.