یافتن معادلهٔ خط: از دو نقطه تا یک دنیای مستقیم
شیب چیست و چگونه محاسبه میشود؟
فرض کنید در حال بالا رفتن از یک تپه هستید. سرعت یا تندی این بالا رفتن، همان مفهوم شیب است. در ریاضیات، شیب خط، میزان انحراف یا شیب بودن آن را نشان میدهد. اگر خطی کاملاً افقی باشد، شیب آن 0 است. اگر خطی رو به بالا باشد، شیب مثبت و اگر رو به پایین باشد، شیب منفی خواهد بود.
برای محاسبه شیب خطی که از دو نقطهٔ $A(x_1, y_1)$ و $B(x_2, y_2)$ میگذرد، از فرمول زیر استفاده میکنیم:
در این فرمول، $m$ نشاندهندهٔ شیب خط است. صورت کسر، تغییرات ارتفاع (محور عرضها) و مخرج کسر، تغییرات طول (محور طولها) را نشان میدهد.
مثال عینی: تصور کنید نقطهای به مختصات $A(1, 2)$ جایگاه شما در ابتدای یک مسیر راستخط و نقطهٔ $B(4, 5)$ جایگاه شما پس از 3 متر حرکت به سمت راست و 3 متر به سمت بالا است. شیب این مسیر میشود: $ m = \frac{5 - 2}{4 - 1} = \frac{3}{3} = 1 $. یعنی به ازای هر متر حرکت به سمت راست، یک متر هم بالا میروید.
| نوع خط | نمایش | مقدار شیب (m) | مثال عددی |
|---|---|---|---|
| خط صعودی (رو به بالا) | / | مثبت | $ m = 2 $ |
| خط نزولی (رو به پایین) | \ | منفی | $ m = -0.5 $ |
| خط افقی | — | صفر | $ m = 0 $ |
| خط عمودی | | | تعریف نشده | — |
از شیب و یک نقطه تا معادلهٔ خط
پس از یافتن شیب ($m$)، میخواهیم معادلهٔ خط را بنویسیم. سادهترین فرم، فرم شیب-تقاطع است:
در این فرمول، $b$ مقدار تقاطع با محور عرضها است، یعنی نقطهای که خط، محور $y$ها را قطع میکند ($x=0$).
اگر یک نقطه مانند $(x_1, y_1)$ و شیب $m$ را داشته باشیم، میتوانیم $b$ را پیدا کنیم. کافی است مختصات نقطه را در معادله بگذاریم: $ y_1 = m x_1 + b $. سپس با حل این معادله، مقدار $b$ به دست میآید: $ b = y_1 - m x_1 $.
گامبهگام با یک مثال: فرض کنید دو نقطهٔ $P(2, 3)$ و $Q(5, 9)$ را داریم.
گام 1: محاسبه شیب: $ m = \frac{9 - 3}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2 $.
گام 2: انتخاب یک نقطه (مثلاً $P(2, 3)$) و جایگذاری در فرمول برای یافتن $b$: $ 3 = (2 \times 2) + b $ → $ 3 = 4 + b $ → $ b = 3 - 4 = -1 $.
گام 3: نوشتن معادله نهایی: با داشتن $m=2$ و $b=-1$، معادله خط میشود: $ y = 2x - 1 $.
خطوط در زندگی: از سقف خانه تا نمودار فروش
شاید بپرسید این محاسبات به چه کار میآیند؟ پاسخ در همه جا است!
- سقف شیروانی: شیب سقف خانههای شیروانی را با همین روش میتوان محاسبه کرد. اگر نقطهٔ شروع و نقطهٔ اوج سقف را بدانیم، میتوانیم زاویه و شیب آن را پیدا کنیم تا از جمع شدن برف و باران جلوگیری شود.
- نمودار رشد: تصور کنید میخواهید رشد قد خود را در چند سال گذشته روی نمودار بکشید. هر سال یک نقطه است (سال، قد). با وصل کردن این نقاط و یافتن معادلهٔ خط، میتوانید روند رشد خود را ببینید و حتی قد خود را در سالهای آینده پیشبینی کنید!
- حقوق و ساعت کار: در برخی شغلها، حقوق شما با تعداد ساعات کار به صورت خطی تغییر میکند (مثلاً ساعتی 10,000 تومان). اگر نقطهٔ شروع کار و نرخ (شیب) را بدانید، میتوانید معادلهای بنویسید که حقوق شما ($y$) را بر اساس ساعت کار ($x$) محاسبه کند.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: خیر، مهم نیست! فقط باید در صورت و مخرج کسر، ترتیب یکسانی رعایت شود. یعنی همیشه «عرض نقطه دوم منهای عرض نقطه اول» بر «طول نقطه دوم منهای طول نقطه اول». اگر ترتیب را برعکس کنید، علامت هم در صورت و هم در مخرج منفی میشود که در نتیجه، شیب تغییر نمیکند. مثال: $ \frac{5-2}{4-1} = 1$ و $ \frac{2-5}{1-4} = \frac{-3}{-3} = 1 $.
پاسخ: در این حالت، خط عمودی است. در فرمول شیب، مخرج کسر صفر میشود ($x_2 - x_1 = 0$) و تقسیم بر صفر تعریف نشده است. بنابراین، شیب برای خط عمودی تعریف نشده است. معادلهٔ چنین خطی به سادگی $x = a$ است که در آن $a$ مقدار طول مشترک دو نقطه است.
پاسخ: بهترین آزمون، جایگذاری مختصات هر دو نقطه در معادلهٔ نهایی است. اگر معادله برای هر دو نقطه برقرار بود (یعنی طرف راست و چپ معادله برابر شدند)، کار شما درست است. در مثال قبل، معادله $y = 2x - 1$ را برای نقطهٔ $Q(5,9)$ امتحان کنید: $9 = (2\times5) - 1 = 10 - 1 = 9$. درست است!
- برای نوشتن معادلهٔ خط از دو نقطه، ابتدا شیب (m) را با فرمول $ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $ محاسبه کنید.
- سپس با انتخاب یکی از نقاط و جایگذاری در رابطهٔ $ y_1 = m x_1 + b $، مقدار عرض از مبدأ (b) را به دست آورید.
- در نهایت، معادلهٔ خط را به فرم سادهٔ شیب-تقاطع، یعنی $ y = m x + b $ بنویسید.
- یادتان باشد که این ابزار ریاضی، الگویی برای توصیف بسیاری از روندهای خطی در دنیای اطراف شماست.
پاورقی
1شیب (Slope): در ریاضیات، به میزان تمایل یک خط نسبت به محور افقی گفته میشود. معیاری از «تندی» خط.
2معادلهٔ خط (Equation of a Line): رابطهای جبری که تمام نقاط واقع بر یک خط مستقیم را توصیف میکند.
3فرم شیب-تقاطع (Slope-Intercept Form): شکل رایج معادله خط به صورت $y = mx + b$ که در آن $m$ شیب و $b$ عرض از مبدأ است.
4فرم عمومی (General Form): شکل دیگری از معادله خط به صورت $Ax + By + C = 0$ که در این مقاله به آن پرداخته نشد ولی میتوان از فرم شیب-تقاطع به آن تبدیل کرد.
