درجهٔ چندجملهای: راز بزرگترین توان
چندجملهای چیست؟ یک آشنایی دوستانه
تصور کنید میخواهید هزینه خرید از یک فروشگاه را محاسبه کنید. قیمت هر سیب 2000 تومان و قیمت هر بطری آب 5000 تومان است. اگر تعداد سیبها را با حرف $x$ و تعداد بطریهای آب را با $y$ نشان دهیم، هزینه کل میشود: $2000x + 5000y$. این یک چندجملهای ساده است! یعنی عبارتی است که از جمع یا تفریق چند جمله تشکیل شده و در هر جمله، متغیرها فقط میتوانند در توانهای صحیح و نامنفی (مثل $0, 1, 2, 3, ...$) ظاهر شوند.
| نمونه چندجملهای | جملات تشکیلدهنده | توضیح |
|---|---|---|
| $3x^2 + 5x - 7$ | $3x^2$, $5x$, $-7$ | سه جملهای بر حسب $x$ |
| $2a^3b - 4ab + 10$ | $2a^3b$, $-4ab$, $10$ | سه جملهای با دو متغیر $a$ و $b$ |
| $6y$ | $6y$ | تکجملهای (یک جملهای) |
درجه چیست و چگونه محاسبه میشود؟
درجه یک چندجملهای نسبت به یک متغیر خاص، بالاترین توان آن متغیر در کل عبارت است. برای پیدا کردن آن باید مثل یک کارآگاه، همهی جملات را بررسی کنید و بزرگترین عددی که به عنوان توان برای آن متغیر نوشته شده را پیدا کنید.
مثال ۱ (تک متغیره): در چندجملهای $4x^3 - 2x^2 + 7x - 5$، متغیر ما $x$ است. توانهای آن در جملات مختلف به ترتیب 3، 2، 1 و 0 (برای عدد 5 که $x^0$ در نظر گرفته میشود) هستند. بزرگترین این اعداد 3 است. پس درجه این چندجملهای نسبت به $x$ برابر 3 است.
مثال ۲ (چند متغیره): چندجملهای $p^2q^3 + 3p^4 - 2q^5$ را در نظر بگیرید.
- درجه نسبت به $p$: توانهای $p$ در جملات: در جمله اول 2، در جمله دوم 4 و در جمله سوم اصلاً $p$ وجود ندارد (یعنی توان 0). بزرگترین توان: 4.
- درجه نسبت به $q$: توانهای $q$: در جمله اول 3، در جمله دوم 0، در جمله سوم 5. بزرگترین توان: 5.
پس درجه این عبارت نسبت به $p$ برابر 4 و نسبت به $q$ برابر 5 است.
درجهبندی در عمل: از کتابفروشی تا طراحی باغچه
فرض کنید برای خرید دفتر و خودکار به کتابفروشی میروید. قیمت هر دفتر 8000 تومان و قیمت هر خودکار 3000 تومان است. اگر تعداد دفاتر را $d$ و تعداد خودکارها را $k$ بنامیم، هزینه کل: $8000d + 3000k$ تومان است. این یک چندجملهای درجه 1 نسبت به هر دو متغیر $d$ و $k$ است (چون بزرگترین توان هرکدام 1 است).
حالا یک مثال پیچیدهتر: مساحت یک باغچه مستطیل شکل را در نظر بگیرید. اگر طول آن $(x+3)$ متر و عرض آن $x$ متر باشد، مساحت میشود: $A = x \times (x+3) = x^2 + 3x$.
برای پیدا کردن درجه این عبارت $A$ نسبت به $x$، دوباره به توانها نگاه میکنیم: جمله $x^2$ دارای توان 2 و جمله $3x$ دارای توان 1 است. پس درجه این چندجملهای نسبت به متغیر $x$ برابر 2 است.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: بله. یک عدد ثابت، خودش یک چندجملهای تکجملهای است. چون میتوان آن را به صورت $10x^0$ نوشت (چون هر عدد به توان صفر میشود 1). پس بزرگترین توان متغیر $x$ در آن 0 است. بنابراین درجه یک عدد ثابت (غیرصفر) برابر صفر است. برای عدد صفر، معمولاً درجه تعریف شده خاصی ندارد یا آن را تعریف نمیکنند.
پاسخ: باید فقط به توان متغیر $m$ در هر جمله توجه کنیم.
- جمله اول: $4m^{\mathbf{2}}n$ → توان $m$ برابر 2
- جمله دوم: $m^{\mathbf{1}}n^5$ → توان $m$ برابر 1
بزرگترین توان، عدد 2 است. پس درجه نسبت به $m$ برابر 2 است.
اشتباه رایج: بعضی دانشآموزان به جای توجه فقط به توان $m$، جمع توانهای هر جمله (مثلاً برای جمله اول 2+1=3) را محاسبه میکنند که مربوط به مفهوم دیگری به نام "درجه کل" است و با "درجه نسبت به یک متغیر" تفاوت دارد.
پاسخ: در این حالت، میتوانیم فرض کنیم آن متغیر با توان 0 (یعنی به صورت پنهان) در همه جملات حضور دارد. از آنجایی که بزرگترین توان 0 میشود، درجه چندجملهای نسبت به آن متغیر برابر صفر خواهد بود. مثلاً در عبارت $2a^2 + 5$، درجه نسبت به متغیر $b$ برابر 0 است.
پاورقی
1چندجملهای (Polynomial): عبارتی جبری متشکل از یک یا چند جمله که در هر جمله، متغیرها تنها در توانهای صحیح و نامنفی ظاهر میشوند.
2درجه (Degree): در این متن، منظور بزرگترین توان یک متغیر خاص در یک چندجملهای است. به آن Degree with respect to a variable نیز گفته میشود.
