ریشه سوم اعداد منفی: وجود دارد و منفی است
ریشه سوم چیست؟ از مکعب تا عدد
فرض کنید یک جعبه مکعبی شکل داریم که حجم آن $ 27 $ سانتیمتر مکعب است. اگر بخواهیم طول ضلع این جعبه را پیدا کنیم، باید بپرسیم: «کدام عدد را اگر سه بار در خودش ضرب کنیم، حاصل $ 27 $ میشود؟» پاسخ واضح است: عدد $ 3 $. زیرا $ 3 \times 3 \times 3 = 27 $. به این عملیات، «گرفتن ریشه سوم» میگویند و به صورت $ \sqrt[3]{27} = 3 $ نوشته میشود.
پس به طور کلی، ریشه سوم یک عدد $ a $، عددی مانند $ b $ است که اگر سه بار در خودش ضرب شود، نتیجه برابر $ a $ شود: $ b \times b \times b = a $.
تفاوت بزرگ: ریشه سوم در مقابل ریشه دوم
شاید با ریشه دوم۲ اعداد منفی مثل $ \sqrt{-4} $ آشنا باشید که در سطح ریاضیات پایه نهم، پاسخ واقعی ندارد (غیرقابل محاسبه با اعداد حقیقی۳ است). اما داستان برای ریشه سوم کاملاً متفاوت است! ریشه سوم اعداد منفی نه تنها وجود دارد، بلکه به راحتی قابل محاسبه است.
دلیل این تفاوت به قانون علامتها در ضرب برمیگردد:
| عملیات | قانون علامت | مثال عدد منفی | نتیجه (در اعداد حقیقی) |
|---|---|---|---|
| ریشه دوم ($\sqrt{ }$) | ضرب دو عدد همعلامت مثبت میشود. برای ساختن عدد مثبت از دو عامل یکسان. | $\sqrt{-4}$ | تعریف نشده (هیچ عدد حقیقی نیست که مجذور آن -4 شود) |
| ریشه سوم ($\sqrt[3]{ }$) | ضرب سه عدد همعلامت، علامت خود را حفظ میکند. (منفی × منفی × منفی = منفی) | $\sqrt[3]{-8}$ | وجود دارد و برابر است با -2 (-2 × -2 × -2 = -8) |
محاسبه ریشه سوم اعداد منفی: گامبهگام
برای محاسبه ریشه سوم یک عدد منفی، مراحل زیر را دنبال کنید:
گام اول: نادیده گرفتن علامت منفی. اول ریشه سوم عدد مثبتِ همارز آن را پیدا کنید. مثلاً برای $ \sqrt[3]{-64} $، اول $ \sqrt[3]{64} $ را حساب میکنیم. چه عددی سه بار در خودش ضرب شود 64 میشود؟ پاسخ 4 است، زیرا $ 4^3 = 64 $.
گام دوم: اضافه کردن علامت منفی. از آنجایی که ریشه سوم، علامت عدد اصلی را حفظ میکند، پس جواب نهایی منفی خواهد بود. بنابراین: $ \sqrt[3]{-64} = -4 $.
بیایید بررسی کنیم: $ (-4) \times (-4) \times (-4) = (+16) \times (-4) = -64 $. درست است!
| عدد ($a$) | ریشه سوم ($\sqrt[3]{a}$) | بررسی (عدد × عدد × عدد) |
|---|---|---|
| 125 | 5 | $5 \times 5 \times 5 = 125$ |
| -27 | -3 | $(-3) \times (-3) \times (-3) = -27$ |
| -1 | -1 | $(-1) \times (-1) \times (-1) = -1$ |
| -1000 | -10 | $(-10) \times (-10) \times (-10) = -1000$ |
کاربرد در دنیای واقعی: وقتی دما زیر صفر است
فرض کنید دانشمندی در حال مطالعه روی انبساط۴ مواد در سرما است. او حجم یک قطعه یخ مکعبی شکل را در دمای بسیار پایین اندازهگیری میکند و متوجه میشود حجم آن -8 سانتیمتر مکعب کاهش یافته است (در ریاضیات، کاهش گاهی با عدد منفی نشان داده میشود). برای محاسبه کاهش طول ضلع این مکعب، باید ریشه سوم -8 را حساب کند: $ \sqrt[3]{-8} = -2 $. نتیجه منفی نشاندهنده این است که طول ضلع 2 سانتیمتر کوتاه شده است. این یک مثال ساده از کاربرد ریاضیات در علوم تجربی است.
یا در بازیهای ویدیویی، وقتی یک شخصیت به یک «تاس منفی» برخورد میکند که حجم توان آن را کاهش میدهد، محاسبات مشابهی در پشت صحنه انجام میشود.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: بله، کاملاً برابر است. این یک قانون مهم است: ریشه سوم یک عدد منفی را میتوان به صورت «منفیِ ریشه سوم عدد مثبت» نوشت. یعنی $ \sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a} $ (برای اعداد مثبت $ a $). هر دو به جواب -2 ختم میشوند.
پاسخ: همانطور که در جدول بالا دیدیم، به دلیل قانون ضرب علامتها. برای به دست آوردن یک عدد منفی از طریق ضرب دو عدد یکسان، آن دو عدد باید یکی مثبت و یکی منفی باشند که غیرممکن است (چون یکسان هستند). اما برای به دست آوردن یک عدد منفی از طریق ضرب سه عدد یکسان، ممکن است. کافی است آن عدد، خودش منفی باشد. (منفی × منفی = مثبت؛ مثبت × منفی = منفی).
پاسخ: در دنیای اعداد حقیقی که در پایه نهم با آن کار میکنیم، بله. برای هر عدد حقیقی $ a $ (چه مثبت و چه منفی)، فقط یک عدد حقیقی منحصر به فرد به عنوان ریشه سوم آن وجود دارد. این ویژگی ریشه سوم را به عملیاتی ساده و قابلاعتماد تبدیل میکند.
پاورقی
۱ریشه سوم (Cube Root): عملیات معکوس به توان سه رساندن یک عدد. اگر $ b^3 = a $ آنگاه $ b $ ریشه سوم $ a $ است.
۲ریشه دوم (Square Root): عملیات معکوس به توان دو رساندن یک عدد. اگر $ b^2 = a $ آنگاه $ b $ ریشه دوم $ a $ است.
۳اعداد حقیقی (Real Numbers): مجموعهای از تمام اعداد اعشاری، کسری، صحیح مثبت و منفی و صفر که روی خط اعداد نمایش داده میشوند. در این سطح آموزشی، همهی اعداد مورد بحث ما جزو اعداد حقیقی هستند.
۴انبساط (Expansion): افزایش حجم یک ماده معمولاً بر اثر گرما. عکس این فرآیند، انقباض نام دارد.
