ریشهٔ سوم: عددی که توان سوم آن برابر عدد داده‌ شده باشد.

بروزرسانی شده در: 11:37 1404/09/12 مشاهده: 5 دسته بندی: کپسول آموزشی

ریشهٔ سوم: از انباری مکعبی تا حل مسئله

معمای یافتن عددی که وقتی آن را سه بار در خودش ضرب کنیم، به عدد مورد نظرمان برسیم.

در دنیای ریاضی، وقتی از حجم یک جعبه یا محاسبهٔ ابعاد یک تانکر آب صحبت می‌کنیم، مفهوم ریشهٔ سوم¹ به کمک ما می‌آید. این مقاله به زبان ساده، معنای ریشهٔ سوم، روش‌های محاسبهٔ آن از جمله تجزیه به عوامل اول²، و کاربردهای جذاب آن در زندگی روزمره را با مثال‌های ملموس توضیح می‌دهد. همچنین با ذکر اشتباهات رایج، درک شما از این مفهوم پایه‌ای در جبر را تقویت خواهد کرد.

ریشهٔ سوم چیست و چطور آن را نشان می‌دهیم؟

فرض کنید یک جعبهٔ کاملاً مکعبی‌شکل داریم که حجم آن 27 سانتی‌متر مکعب است. برای پیدا کردن طول هر ضلع این جعبه، باید بپرسیم: «کدام عدد را اگر سه بار در خودش ضرب کنیم، حاصل 27 می‌شود؟» پاسخ عدد 3 است، زیرا $ 3 \times 3 \times 3 = 27 $. به این عدد، ریشهٔ سوم عدد 27 می‌گوییم.

نماد ریاضی ریشهٔ سوم به این شکل است: $\sqrt[3]{ }$. بنابراین ریشهٔ سوم 27 را این گونه می‌نویسیم و می‌خوانیم: $\sqrt[3]{27} = 3$.

فرمول کلیدی: اگر $\sqrt[3]{a} = b$، آن‌گاه به این معناست که $ b \times b \times b = a $ یا $ b^3 = a $.

چگونه ریشهٔ سوم را محاسبه کنیم؟ (روش‌های ساده)

برای محاسبه ریشهٔ سوم، چند راه ساده وجود دارد که دو روش مهم آن را بررسی می‌کنیم.

روش محاسبه	شرح و مثال	مناسب برای
حدس زدن و آزمایش (روش شهودی)	با استفاده از حفظ کردن مکعب اعداد کوچک. مثال: $\sqrt[3]{64}$؟ می‌دانیم 4×4×4=64. پس پاسخ 4 است.	اعداد کوچک و آشنا
تجزیه به عوامل اول²	عدد را به صورت ضرب عوامل اولش می‌نویسیم. سپس هر عاملی که سه بار تکرار شده باشد، یک بار خارج می‌شود. مثال: 216 = 2×2×2×3×3×3 = 2^3 × 3^3. پس $\sqrt[3]{216} = 2 \times 3 = 6$.	اعداد صحیح متوسط

برای تمرین، سعی کنید ریشه سوم این اعداد را با روش تجزیه پیدا کنید: 8، 125 و 1000. خواهید دید که پاسخ‌ها اعداد صحیح و زیبایی هستند!

ریشه سوم در دنیای اطراف ما: از معماری تا بازی‌های رایانه‌ای

شاید فکر کنید ریشهٔ سوم یک مفهوم کاملاً کتابی است، اما کاربردهای شگفت‌انگیزی دارد:

۱. طراحی و ساخت: یک معمار می‌خواهد یک حوضچهٔ آب به شکل مکعب بسازد که دقیقاً 343 لیتر گنجایش داشته باشد. هر لیتر معادل یک دسی‌متر مکعب است. پس حجم حوضچه 343 دسی‌متر مکعب است. برای پیدا کردن طول هر ضلع حوضچه (بر حسب دسی‌متر)، باید ریشهٔ سوم 343 را حساب کند. با استفاده از روش تجزیه یا حدس زدن (چون 7×7×7=343)، به جواب 7 دسی‌متر می‌رسد. پس هر ضلع باید 70 سانتی‌متر باشد.

۲. کشاورزی و باغبانی: تصور کنید یک باغدار می‌خواهد یک مخزن مکعبی بزرگ برای ذخیرهٔ آب باران ایجاد کند. اگر بداند به 729 متر مکعب آب نیاز دارد، با محاسبهٔ ریشهٔ سوم این عدد ($\sqrt[3]{729} = 9$)، متوجه می‌شود مخزنش باید ابعاد 9×9×9 متر داشته باشد.

۳. گرافیک رایانه‌ای: در ساخت بازی‌های ویدیویی، برای محاسبه‌ی حجم اجسام سه‌بعدی مانند یک جعبهٔ گنج مجازی یا یک تکه یخ در بازی، دائماً از مفهوم مکعب و ریشهٔ سوم استفاده می‌شود تا اندازه‌های واقع‌گرایانه‌ای داشته باشند.

اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم

سوال ۱: آیا ریشهٔ سوم یک عدد می‌تواند منفی باشد؟ مثلاً آیا $\sqrt[3]{-8}$ معنا دارد؟

پاسخ: بله! بر خلاف ریشهٔ دوم اعداد منفی (که در این پایه تعریف نمی‌شود)، ریشهٔ سوم اعداد منفی وجود دارد. زیرا اگر عدد منفی را سه بار در خودش ضرب کنیم، حاصل منفی می‌شود. مثال: (-2)×(-2)×(-2) = -8. پس $\sqrt[3]{-8} = -2$.

سوال ۲: بزرگ‌ترین اشتباه در محاسبهٔ دستی ریشهٔ سوم چیست؟

پاسخ: دو اشتباه شایع وجود دارد: اول، اشتباه گرفتن آن با ریشهٔ دوم. مثلاً فکر کردن که $\sqrt[3]{27} = 9$ (در حالی که 9 جواب 3×3 است، نه 3×3×3). دوم، در روش تجزیه، فراموش کردن این که برای خروج از ریشه، عامل اول باید حتماً سه بار (یا مضرب سه بار) تکرار شده باشد.

سوال ۳: آیا ریشهٔ سوم همهٔ اعداد، یک عدد صحیح³ و زیبا می‌شود؟

پاسخ: خیر. فقط ریشهٔ سوم اعدادی که «مکعب کامل»⁴ هستند (مانند 1, 8, 27, 64, 125, ...) به عدد صحیح تبدیل می‌شوند. ریشهٔ سوم اعدادی مثل 10 یا 50 یک عدد اعشاری است که معمولاً با ماشین حساب محاسبه می‌شود، مثلاً $\sqrt[3]{10} \approx 2.154$.

جمع‌بندی: ریشهٔ سوم، عمل معکوس به توان سه رساندن (مکعب کردن) یک عدد است. این مفهوم نه تنها یک تمرین ریاضی، بلکه ابزاری کاربردی برای حل مسائل حجم و ابعاد در طراحی، ساخت‌وساز و حتی فناوری است. با تسلط بر روش‌های ساده‌ای مانند تجزیه به عوامل اول و حدس زدن، می‌توانید ریشهٔ سوم بسیاری از اعداد را به راحتی پیدا کنید. به یاد داشته باشید که ریشهٔ سوم اعداد منفی نیز تعریف شده و محاسبه آن امکان‌پذیر است.

پاورقی

¹ریشهٔ سوم (Cube Root): عددی که وقتی در خودش دو بار دیگر ضرب شود (یا به توان سه برسد)، عدد اصلی را حاصل کند.
²تجزیه به عوامل اول (Prime Factorization): نوشتن یک عدد به صورت حاصل ضرب اعداد اول. مثلاً عوامل اول 24 عبارتند از: 2×2×2×3.
³عدد صحیح (Integer): اعداد مثبت و منفی کامل و صفر (مانند ... ،-2, -1, 0, 1, 2).
⁴مکعب کامل (Perfect Cube): عددی که حاصل ضرب یک عدد صحیح در خودش و دوباره در خودش باشد. مانند 27 که مکعب کامل 3 است.

ریشه سوم محاسبه حجم مکعب تجزیه عوامل اول ریاضی نهم

پایهٔ نهم ریاضی نهم ریشهٔ سوم

اطلاع از تغییرات در بسته‌های گاما

کاربر عزیز سلام!