توان چیست و چگونه با هم جمع میشوند؟ قانون طلایی برای ضرب اعداد تواندار
درک مفهوم پایه و توان
قبل از یادگیری قانون، باید بدانیم توان یعنی چه. فرض کنید میخواهیم عدد 2 را سه بار در خودش ضرب کنیم. به جای نوشتن 2 × 2 × 2، آن را به صورت $ 2^3 $ نشان میدهیم. در اینجا:
- $ 2 $ پایه است: عددی که قرار است چندبار در خودش ضرب شود.
- $ 3 $ توان یا نما است: نشان میدهد پایه چند بار باید در خودش ضرب شود.
پس $ 2^3 = 8 $ است. این مفهوم در زندگی روزمره هم دیده میشود. مثلاً وقتی یک باکتری هر ساعت دو برابر شود، پس از ۳ ساعت، تعداد آن $ 2^3 = 8 $ برابر اولیه خواهد بود. یا در محاسبه مساحت مربع، اگر ضلع مربعی 5 سانتیمتر باشد، مساحت آن $ 5^2 = 25 $ سانتیمتر مربع است.
چگونه از این قانون استفاده کنیم؟ گامبهگام با مثال
بیایید این قانون را با حل چند مثال ساده یاد بگیریم. همیشه اولین گام بررسی این است که پایهها یکسان باشند.
| مسئله | مراحل حل (گامبهگام) | نتیجه نهایی | توضیح |
|---|---|---|---|
| $ 5^2 \times 5^3 $ | پایه هر دو 5 است. توانها را جمع میکنیم: 2 + 3 = 5 | $ 5^{5} $ | یعنی 5 × 5 × 5 × 5 × 5 |
| $ x^4 \times x^1 $ | پایه هر دو x است. توانها را جمع میکنیم: 4 + 1 = 5 | $ x^{5} $ | دقت کنید عددی با توان 1، همان خودش است: $ x^1 = x $ |
| $ 10^2 \times 10^5 $ | پایه هر دو 10 است. توانها را جمع میکنیم: 2 + 5 = 7 | $ 10^{7} $ | یک میلیون! محاسبه چنین عدد بزرگی بدون این قانون سخت بود. |
| $ 3^2 \times 4^2 $ |
هشدار
پایهها متفاوت است (3 و 4).
|
$ 9 \times 16 = 144 $ | در اینجا قانون جمع توانها صدق نمیکند. باید ابتدا هر توان را جداگانه محاسبه و سپس در هم ضرب کنیم. |
کاربرد قانون جمع توانها در دنیای اطراف ما
این قانون فقط یک ترفند ریاضی نیست، بلکه برای درک پدیدههای دنیای واقعی مفید است.
مثال ۱: رشد جمعیت باکتریها
فرض کنید یک باکتری در ساعت صبح (ساعت 0) وجود دارد. این باکتری هر ساعت دو برابر میشود. پس از ۲ ساعت، تعداد باکتریها $ 2^2 = 4 $ خواهد بود. اگر بخواهیم بدانیم پس از گذشت ۵ ساعت از همان شروع اولیه چند باکتری داریم، میتوانیم بگوییم: $ 2^2 \times 2^3 = 2^{2+3} = 2^5 = 32 $. این یعنی جمعیت پس از ۲ ساعت (۴ باکتری) در جمعیت پس از ۳ ساعت دیگر (۸ برابر شدن) ضرب میشود و نتیجه نهایی جمعیت پس از ۵ ساعت (۳۲ باکتری) میشود. قانون جمع توانها، این محاسبه را سریعتر کرد.
مثال ۲: بزرگ کردن تصویر در یک برنامه
فرض کنید در یک برنامه گرافیکی، طول و عرض یک عکس را هر بار در 2 ضرب میکنیم تا بزرگ شود. اگر این کار را ۲ بار روی طول انجام دهیم، طول جدید $ 2^2 = 4 $ برابر میشود. اگر سپس همین کار را ۳ بار روی عرض انجام دهیم، عرض جدید $ 2^3 = 8 $ برابر میشود. مساحت کل عکس (طول × عرض) چقدر بزرگ شده است؟ مساحت اولیه را A در نظر بگیرید. مساحت جدید میشود: $ (4A) \times (8A) = 32 A^2 $؟! نه، صبر کنید. اینجا پایهها (ضریب بزرگشدن) یکسان است (2). کل دفعاتی که در 2 ضرب کردهایم، برای طول و عرض باهم، 2 + 3 = 5 بار است. پس اندازه کل عکس $ 2^5 = 32 $ برابر شده است. قانون جمع توانها دوباره به کمک ما آمد.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: خیر. قانون جمع توانها فقط برای ضرب است وقتی پایهها یکسان باشند. برای جمع، هیچ قانون سادهای مانند این وجود ندارد. باید مقدار هر توان را جداگانه حساب کرده و سپس نتایج را با هم جمع کنید: $ 2^3 + 2^2 = 8 + 4 = 12 $.
پاسخ: خیر. شرط اصلی برای استفاده از قانون $ a^m \times a^n = a^{m+n} $، یکسان بودن پایه ($ a $) است. در مثال داده شده، پایهها (2 و 3) متفاوتاند. بنابراین باید هر کدام را جداگانه محاسبه و سپس ضرب کنید: $ 8 \times 27 = 216 $.
پاسخ: طبق قانون جمع توانها داریم: $ 5^{2+0} = 5^2 $. این درست است و با یک قاعده دیگر در ریاضی همخوانی دارد: هر عدد (غیرصفر) به توان صفر، برابر با یک است3. پس $ 5^2 \times 5^0 = 25 \times 1 = 25 $ که همان $ 5^2 $ است. قانون جمع توانها در این حالت هم جواب میدهد.
قانون جمع توانها در ضرب، یک ابزار قدرتمند و صرفهجوییکننده در زمان است. به یاد داشته باشید: اول) پایهها باید دقیقاً یکسان باشند. دوم) عمل ضرب انجام شود. سوم) توانها با هم جمع شوند و پایه مشترک یک بار نوشته شود ($ a^m \times a^n = a^{m+n} $). با تمرین بر روی مثالهای ساده و ملموس زندگی، این قانون به بخشی از مهارتهای حل مسئله شما تبدیل خواهد شد.
پاورقی
1پایه (Base): در یک عدد تواندار، به عددی که در خودش ضرب میشود، پایه میگویند. در $ a^m $، $ a $ پایه است.
2توان یا نما (Exponent / Power): در یک عدد تواندار، به عدد کوچک نوشته شده در بالا و سمت راست پایه، توان میگویند. نشان میدهد پایه چند بار در خودش ضرب شده است. در $ a^m $، $ m $ توان است.
3عدد به توان صفر: یک قاعده پذیرفته شده در ریاضیات است که میگوید برای هر عدد حقیقی غیرصفر مانند $ a $، $ a^0 = 1 $.
