هفت قفل و یک کلید: اثبات ریاضی با مفهوم همنهشتی[1]
همنهشتی چیست؟ زبان ریاضی برای "ماندنها"
فرض کنید در یک مهمانی، میزبان تصمیم میگیرد شیرینیها را بین مهمانان به صورت مساوی تقسیم کند. اگر 25 شیرینی باشد و 6 مهمان، به هر نفر 4 شیرینی میرسد و 1 شیرینی باقی میماند. حالا اگر به جای 25 شیرینی، 37 شیرینی داشتیم، باز هم به هر نفر 6 شیرینی میرسد (چون 37÷6=6) و این بار 1 شیرینی باقی میماند؟ خیر! 37÷6=6 و 1 باقیمانده؟ اشتباه است. درست این است: 37÷6=6 و 1 باقیمانده؟ نه، 37÷6=6 و باقیمانده 1؟ دوباره محاسبه کنید: 6×6=36، پس 37-36=1. بله، باقیمانده 1 است. در هر دو حالت (25 و 37)، باقیمانده تقسیم بر 6 برابر با 1 شد. به زبان ریاضی میگوییم: $25$ و $37$ نسبت به عدد $6$همنهشت هستند.
نماد ریاضی این مفهوم به این شکل است: $25 \equiv 37 \pmod{6}$. این خط را اینگونه میخوانیم: «بیستوپنج همنهشت است با سیوهفت به پیمانهی شش». به عدد $6$، مدول[2] یا پیمانه میگوییم.
دو عدد $a$ و $b$ نسبت به مدول $m$ همنهشت هستند اگر و تنها اگر باقیمانده تقسیم $a$ و $b$ بر $m$ برابر باشد. به عبارت دیگر، $m$ باید $(a - b)$ را عاد[3] کند (یعنی $a-b$ بر $m$ بخشپذیر باشد).
برابری اجزای متناظر: قلب تپندهٔ اثبات
حالا به اصل موضوع میرسیم: برابری اجزای متناظر. فرض کنید دو ساختار کاملاً شبیه به هم داریم، مانند دو بسته هدیه که محتویات یکسانی دارند. اگر ثابت کنیم که هر جفت جزء متناظر از این دو بسته برابر است (مثلاً شکلات اول بستهی اول با شکلات اول بستهی دوم، شکلات دوم با شکلات دوم و...)، آنگاه میتوان نتیجه گرفت که خود بستهها نیز برابرند.
در همنهشتی، این "اجزای متناظر"، همان باقیماندهها هستند. وقتی میگوییم $a \equiv b \pmod{m}$، در حقیقت داریم میگوییم: «باقیماندهی $a$ بر $m$» برابر است با «باقیماندهی $b$ بر $m$». پس اگر در یک مسئله بتوانیم نشان دهیم که باقیماندههای متناظر دو طرف یک تساوی یا عبارت، با انتخاب یک مدول مناسب، برابرند، آنگاه آن دو طرف نسبت به آن مدول همنهشت هستند و این یک گام قوی در اثبات است.
| مسئله | انتخاب مدول هوشمند | برابری باقیماندههای متناظر | نتیجه همنهشتی |
|---|---|---|---|
| آیا 121 و 81 بر 10 همنهشتند؟ | $m=10$ | باقیمانده 121÷10=1 باقیمانده 81÷10=1 |
بله $121 \equiv 81 \pmod{10}$ |
| ثابت کنید $13+25$ و $5+7$ بر $4$ همنهشتند. | $m=4$ | $(13+25)=38$، باقیمانده 2 $(5+7)=12$، باقیمانده 0 |
خیر باقیماندهها برابر نیستند. |
| آیا برای هر عدد طبیعی $n$، $n^2+n$ همیشه زوج است؟ | $m=2$ (بررسی زوج/فرد بودن) |
اگر $n$ زوج باشد، $n^2$ زوج، جمع دو زوج زوج. اگر $n$ فرد باشد، $n^2$ فرد، جمع دو فرد زوج. |
بله، همیشه زوج است یعنی $n^2+n \equiv 0 \pmod{2}$ |
کاربرد همنهشتی: از ساعت دیواری تا چک کردن اعداد
یکی از ملموسترین مثالهای همنهشتی، ساعت است. ساعت دیواری یک مدول 12 (یا 24) است. اگر الآن ساعت 10 باشد، 15 ساعت بعد، ساعت چند است؟ به جای محاسبه 10+15=25، میگوییم باقیمانده 25 بر 12 برابر 1 است. پس ساعت 1 خواهد بود. یعنی $10+15 \equiv 1 \pmod{12}$.
کاربرد دیگر، چک کردن صحت محاسبات است. مثلاً میدانیم که هر عدد در 9 ضرب شود، مجموع ارقام حاصلضرب بر 9 بخشپذیر است. اگر بگوییم 123×9=1107، میتوانیم با همنهشتی پیمانه 9 صحت آن را بررسی کنیم: مجموع ارقام 123 برابر 6 است. باید 6×9=54 و مجموع ارقام 54 برابر 9 باشد. مجموع ارقام 1107 هم 9 است (1+1+0+7=9). پس صحت نتیجه محتمل است. اینجا «جزء متناظر»، «مجموع ارقام» است که با انتخاب مدول 9 برابر شدهاند.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
- همنهشتی ابزاری برای مقایسه اعداد بر اساس باقیمانده تقسیم بر یک مدول ثابت است.
- اصل «برابری اجزای متناظر» در همنهشتی یعنی مقایسه باقیماندهها به جای خود اعداد.
- با انتخاب مدول مناسب (مثل 2 برای زوج/فرد، 10 برای یکان، 9 برای مجموع ارقام) میتوان اثباتهای ساده و قدرتمندی انجام داد.
- همنهشتی با برابری مطلق تفاوت دارد و یک رابطه انعطافپذیرتر است.
- این مفهوم در زندگی روزمره (ساعت، تقویم، چک کردن محاسبات) کاربردهای فراوانی دارد.
پاورقی
[1] همنهشتی (Congruence): در حساب مدولار، رابطهای بین دو عدد صحیح که اختلاف آنها بر عدد صحیح مثبت ثابت دیگری (مدول) بخشپذیر باشد.
[2] مدول (Modulus): عدد صحیح مثبتی که به عنوان مبنا برای مقایسه باقیماندهها استفاده میشود. در تقسیم $a \div m$، $m$ مدول است.
[3] عاد کند (Divides): به این معنی که عدد اول بر عدد دوم بخشپذیر باشد. اگر $m$ عاد کند $(a-b)$ را، یعنی $a-b$ بر $m$ بخشپذیر است.
[4] رابطه معادل (Equivalence Relation): رابطهای مانند همنهشتی که سه خاصیت بازتابی، متقارن و متعدی دارد.
