نمایش اعشاری نامتناهی غیرمتناوب: نمایش اعشاری عددی که نه به پایان می‌رسد و نه رقم‌هایش تناوب دارند.

اعداد مرموز: سرگذشت نمایش اعشاری نامتناهی غیرمتناوب

اعداد گویا در مقابل اعداد گنگ: یک نبرد رقم‌ها!

برای درک اعداد نامتناهی غیرمتناوب، اول باید بدانیم اعداد گویا چه هستند. اعداد گویا، همان کسرها یا تقسیم‌های ساده‌ای هستند که می‌توانیم آن‌ها را به صورت یک عدد صحیح تقسیم بر عدد صحیح دیگر بنویسیم، مانند $\frac{1}{2}$، $\frac{3}{4}$ یا $\frac{22}{7}$.

وقتی این کسرها را به شکل اعشاری می‌نویسیم، یکی از این دو حالت پیش می‌آید:

همان‌طور که در جدول می‌بینید، نمایش اعشاری عدد $\frac{1}{3}$ برابر با 0.333... است. این یک نمایش نامتناهی متناوب است، زیرا رقم 3 تا بی‌نهایت تکرار می‌شود. اما نمایش عدد پی ($\pi$) کاملاً متفاوت است: رقم‌هایش هیچ‌گاه تکرار نمی‌شوند و ما نمی‌توانیم رقم بعدی را بدون محاسبه‌ی دقیق پیش‌بینی کنیم.

شکارچیان اعداد گنگ در طبیعت و زندگی

شاید فکر کنید این اعداد فقط متعلق به کتاب‌های ریاضی هستند، اما آن‌ها در دنیای واقعی ما هم زندگی می‌کنند! در این بخش به دنبال نشانه‌های این اعداد مرموز در اطرافمان می‌گردیم.

عدد پی ($\pi$) و دایره‌ها: هر وقت محیط یک دایره را بر قطر آن تقسیم کنید، به عدد پی می‌رسید. این عدد برای همه دایره‌ها یکسان است، از چرخ دوچرخه‌تان گرفته تا یک بشقاب گرد. با این حال، نمایش اعشاری این عدد هرگز تمام نمی‌شود و هیچ‌گاه تکرار نمی‌شود. این یعنی ما هرگز نمی‌توانیم مقدار دقیق پی را بنویسیم، فقط می‌توانیم به آن نزدیک و نزدیک‌تر شویم.

عدد طلایی ($\phi$) و زیبایی: عدد طلایی تقریباً برابر است با 1.6180339887... و آن را هم با یک نمایش نامتناهی غیرمتناوب می‌شناسیم. این عدد در بسیاری از الگوهای زیبای طبیعت دیده می‌شود. نسبت طول به عرض برخی از صدف‌های دریایی، آرایش دانه‌های آفتابگردان و حتی نسبت‌های بین اجزای صورت انسان‌هایی که زیبا به نظر می‌رسند، نزدیک به عدد طلایی است.

ریشه دوم اعداد: ریشه دوم عدد 2، یعنی عددی که اگر در خودش ضرب شود، حاصل 2 شود، یک عدد گنگ است. این عدد در زندگی واقعی وقتی ظاهر می‌شود که بخواهید طول قطر یک مربع را محاسبه کنید. اگر هر ضلع مربع 1 متر باشد، قطر آن دقیقاً $\sqrt{2}$ متر خواهد بود که نمایش اعشاری آن 1.4142135623... است و هیچ‌گاه پایان نمی‌پذیرد.

اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم

پاورقی

^[1]نمایش اعشاری (Decimal Representation): روشی برای نمایش اعداد با استفاده از ممیز اعشاری و رقم‌های بعد از آن.

^[2]عدد گنگ (Irrational Number): عددی که نمی‌توان آن را به صورت کسری از دو عدد صحیح نوشت و نمایش اعشاری آن نامتناهی و غیرمتناوب است.

^[3]عدد گویا (Rational Number): عددی که می‌توان آن را به صورت کسری از دو عدد صحیح نوشت. نمایش اعشاری آن یا متناهی است یا نامتناهی متناوب.

^[4]عدد پی (Pi - $\pi$): ثابتی ریاضی که از نسبت محیط دایره به قطر آن به دست می‌آید.

^[5]عدد طلایی (Golden Ratio - $\phi$): یک ثابت ریاضی که تقریباً برابر ۱.۶۱۸ است و در هنر و طبیعت اغلب یافت می‌شود.