بردار: جهان را با اندازه و جهت ببین!
بردار چیست و چه ویژگی‌هایی دارد؟
در دنیای اطراف ما، برخی کمیت‌ها فقط با یک عدد بیان می‌شوند. برای مثال، جرم یک کتاب 2 کیلوگرم یا دمای هوا 25 درجه سانتی‌گراد است. به این کمیت‌ها، نرده‌ای2 می‌گویند. اما برخی کمیت‌ها علاوه بر مقدار عددی، به یک جهت نیز نیاز دارند تا به طور کامل توصیف شوند. این کمیت‌ها، بردار نامیده می‌شوند.
یک مثال ساده: اگر به شما بگوییم یک ماشین با سرعت 60 کیلومتر بر ساعت حرکت می‌کند، این اطلاعات کامل نیست. اما اگر بگوییم با سرعت 60 کیلومتر بر ساعت به سمت شمال حرکت می‌کند، این یک توصیف کامل و برداری است. در اینجا، 60اندازه3 بردار سرعت و شمال، جهت4 آن است.
یک بردار را معمولاً با یک پیکان (→) روی حروف نشان می‌دهند، مانند $\vec{a}$ یا $\vec{AB}$. اندازه این بردار نیز به صورت $|\vec{a}|$ نمایش داده می‌شود.
انواع بردار و روش‌های نمایش آن
بردارها را به روش‌های مختلفی می‌توان نمایش داد و دسته‌بندی کرد.
| نوع بردار | توضیح | مثال |
|---|---|---|
| بردار آزاد | بردارهایی که نقطهٔ شروع ثابتی ندارند و فقط اندازه و جهت برایشان مهم است. | بردار سرعت باد. |
| بردار لغزنده | بردارهایی که روی یک خط راست ثابت می‌توانند بلغزند. | نیروی وارد بر یک میله. |
| بردار مساوی | دو بردار که اندازه و جهت یکسان دارند (حتی اگر نقطه شروع متفاوتی داشته باشند). | جابه‌جایی دو مسیر موازی و هم‌طول. |
| بردار صفر | برداری که اندازه‌اش صفر است و جهت آن تعریف نشده است. | وقتی از نقطه A به خود نقطه A بروید. |
برای نمایش بردار در صفحه، معمولاً از یک دستگاه مختصات دوبعدی (محورهای x و y) استفاده می‌شود. در این حالت، هر بردار را می‌توان با مؤلفه‌های5 آن نشان داد. برای مثال، بردار $\vec{v}$ را می‌توان به صورت $\vec{v} = (v_x, v_y)$ نوشت. اندازه این بردار از قضیه فیثاغورس محاسبه می‌شود: $|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$.
چگونه با بردارها محاسبه انجام دهیم؟
مانند اعداد معمولی، روی بردارها نیز می‌توان عملیات مختلفی مانند جمع، تفریق و ضرب انجام داد. اما این عملیات قوانین مخصوص به خود را دارند.
برای جمع دو بردار $\vec{a}$ و $\vec{b}$، می‌توان از روش "پاره‌خط متوالی" استفاده کرد: انتهای بردار اول را به ابتدای بردار دوم وصل می‌کنیم. بردار حاصل، پاره‌خطی است که از ابتدای بردار اول به انتهای بردار دوم رسم می‌شود. اگر بردارها را با مؤلفه بنویسیم، جمع آن‌ها ساده است: $\vec{a} + \vec{b} = (a_x+b_x, a_y+b_y)$.
مثال: فرض کنید یک قایق در رودخانه در حال حرکت است. سرعت قایق نسبت به آب $\vec{v_b} = (0, 5)$ کیلومتر بر ساعت (به سمت شمال) و سرعت آب رودخانه $\vec{v_w} = (3, 0)$ کیلومتر بر ساعت (به سمت شرق) است. سرعت واقعی قایق نسبت به ساحل، حاصل جمع این دو بردار است: $\vec{v_{total}} = (0+3, 5+0) = (3, 5)$ کیلومتر بر ساعت.
بردارها در حرکت و ورزش
یکی از ملموس‌ترین کاربردهای بردار، توصیف حرکت است. وقتی یک فوتبالیست توپ را به سمت دروازه شوت می‌زند، مکان، سرعت و شتاب توپ همگی کمیت‌های برداری هستند. برای پیش‌بینی مسیر توپ و محل برخورد آن، باید بردار سرعت اولیه و بردار شتاب گرانش را با هم ترکیب کرد.
حتی حرکت ساده‌ای مانند راه رفتن شما را نیز می‌توان با بردار جابه‌جایی6 توصیف کرد. اگر از نقطه A به نقطه B بروید، بردار جابه‌جایی شما پیکانی است که مستقیماً از A به B رسم می‌شود، بدون توجه به مسیر پیچ‌وخمی که ممکن است طی کرده باشید. این بردار، کوتاه‌ترین فاصله و جهت حرکت خالص شما را نشان می‌دهد.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاسخ: خیر. برای مساوی بودن دو بردار، علاوه بر اندازه یکسان، جهت آن‌ها نیز باید کاملاً یکسان باشد. دو بردار با اندازه مساوی اما جهت‌های مخالف، با هم برابر نیستند.
پاسخ: کمیت نرده‌ای فقط با یک عدد (مقدار) مشخص می‌شود (مانند جرم، دما، زمان). اما کمیت برداری برای توصیف کامل، علاوه بر اندازه، به جهت نیز نیاز دارد (مانند نیرو، سرعت، جابه‌جایی).
پاسخ: بله، جمع بردارها خاصیت جابه‌جایی دارد. ترتیب جمع کردن بردارها در نتیجه نهایی تأثیری ندارد و همیشه به یک بردار حاصل می‌رسیم.
مفهوم بردار یک ابزار ریاضی قدرتمند برای توصیف پدیده‌های فیزیکی و هندسی است که هم دارای اندازه هستند و هم جهت. از نمایش هندسی با پیکان گرفته تا نمایش جبری با مؤلفه‌ها، راه‌های مختلفی برای کار با بردارها وجود دارد. عملیات اصلی مانند جمع و تفریق برداری، امکان تحلیل مسائل پیچیده در حرکت، نیرو و نقشه‌برداری را فراهم می‌کند. درک این مفهوم، پایه‌ای اساسی برای یادگیری مباحث پیشرفته‌تر در علوم و مهندسی خواهد بود.
پاورقی
1 Vector (وِکتور)
2 Scalar (اِسکالر)
3 Magnitude (مَگنی‌تیود)
4 Direction (دایرِکشِن)
5 Components (کامپونِنْت‌ها)
6 Displacement (دیسپلیسْمِنْت)
