پیدا کردن عددهای رادیکالی روی محور

پیدا کردن عددهای رادیکالی روی محور

اعداد رادیکالی چه هستند؟

اعداد رادیکالی، اعدادی هستند که می‌توانیم آن‌ها را به شکل رادیکال بنویسیم. برای مثال، عدد $\sqrt{4}$ یک عدد رادیکالی است که می‌دانیم جواب آن 2 می‌شود. اما اعدادی مانند $\sqrt{2}$ یا $\sqrt{3}$ به صورت اعداد صحیح^۳ درنمی‌آیند. این اعداد، جزء اعداد گویا^۴ نیستند و به آن‌ها اعداد گنگ^۵ می‌گویند. آن‌ها را می‌توان روی محور اعداد، اما با روشی خاص، نمایش داد.

نمایش رادیکال ۲ روی محور اعداد

فرض کنید می‌خواهیم نقطه‌ای را روی محور اعداد پیدا کنیم که فاصله‌ی آن از مبدأ برابر با $\sqrt{2}$ باشد. چگونه این کار را انجام دهیم؟

مراحل کار به این صورت است:

۱. یک محور اعداد رسم می‌کنیم و نقطه‌ی 0 و 1 را روی آن مشخص می‌کنیم.

۲. از نقطه‌ی 0 (مبدأ)، یک پاره‌خط به طول 1 واحد به سمت بالا عمود می‌کنیم. به نقطه‌ی B می‌رسیم.

۳. حالا یک مثلث قائم‌الزاویه داریم که دو ضلع عمود بر هم آن هر دو 1 واحد هستند. طبق قضیه فیثاغورث، وتر این مثلث برابر است با: $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

۴. حالا به مرکز نقطه‌ی 0 و به شعاعی به طول این وتر (یعنی $\sqrt{2}$)، یک کمان می‌زنیم تا محور اعداد را قطع دهد. نقطه‌ی تقاطع، دقیقاً همان جایی است که عدد $\sqrt{2}$ روی محور قرار دارد.

به این ترتیب، ما موفق شدیم عدد $\sqrt{2}$ را روی محور اعداد نشان بدهیم.

نمایش رادیکال ۳ و سایر اعداد

حالا چگونه $\sqrt{3}$ را پیدا کنیم؟ برای این کار، می‌توانیم از نقطه‌ای که $\sqrt{2}$ را پیدا کردیم، استفاده کنیم.

۱. نقطه‌ی مربوط به $\sqrt{2}$ را روی محور اعداد در نظر بگیرید.

۲. از این نقطه، یک پاره‌خط به طول 1 واحد به سمت بالا عمود کنید.

۳. حالا مثلث قائم‌الزاویه‌ای داریم که یک ضلع آن $\sqrt{2}$ و ضلع دیگر 1 است. وتر این مثلث برابر است با: $\sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}$.

۴. دوباره به مرکز مبدأ (0) و به شعاع این وتر جدید، یک کمان می‌زنیم تا محور را قطع دهد. این نقطه، محل قرارگیری $\sqrt{3}$ است.

می‌توانید این روش را برای پیدا کردن $\sqrt{4}$ (که می‌دانیم 2 می‌شود)، $\sqrt{5}$ و بقیه اعداد نیز ادامه دهید.

کاربرد اعداد رادیکالی در زندگی روزمره

شاید فکر کنید این اعداد فقط در کتاب ریاضی کاربرد دارند، اما در زندگی واقعی هم با آن‌ها سر و کار داریم. مثلاً:

طراحی و ساخت‌وساز: وقتی یک مهندس می‌خواهد طول یک راه‌پله یا شیب یک سقف را محاسبه کند، ممکن است به عددی مانند $\sqrt{2}$ برخورد کند.

محاسبه‌ی فاصله: اگر یک زمین کشاورزی به شکل مربع داشته باشید و بخواهید قطر آن را پیدا کنید، طول قطر برابر است با $\sqrt{2}$ ضربدر طول یک ضلع مربع. اگر ضلع مربع 10 متر باشد، قطر آن $10 \times \sqrt{2}$ متر خواهد بود.

در تلویزیون و مانیتورها: نسبت ابعاد برخی صفحه‌نمایش‌ها به گونه‌ای است که در محاسبات آن از اعداد رادیکالی استفاده شده است.

اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم

پاورقی

^۱اعداد رادیکالی (Radical Numbers): به اعدادی گفته می‌شود که بتوان آن‌ها را زیر علامت رادیکال (ریشه) نوشت.

^۲قضیه فیثاغورث (Pythagorean Theorem): قضیه‌ای در هندسه که رابطه بین اضلاع یک مثلث قائم‌الزاویه را بیان می‌کند.

^۳اعداد صحیح (Integers): مجموعه اعداد ... ، -2, -1, 0, 1, 2, ... .

^۴اعداد گویا (Rational Numbers): اعدادی که بتوان آن‌ها را به صورت کسری از دو عدد صحیح نوشت.

^۵اعداد گنگ (Irrational Numbers): اعدادی که نتوان آن‌ها را به صورت کسری از دو عدد صحیح نوشت و اعشار آن‌ها پایان‌ناپذیر و غیرتکرارشونده است.

^۶وتر (Hypotenuse): ضلع روبرو به زاویه قائمه در یک مثلث قائم‌الزاویه.