راز تقسیم اعداد توان‌دار: وقتی پایه‌ها یکی هستند
توان چیست؟ یک نگاه اجمالی
قبل از پرداختن به تقسیم، باید بدانیم توان[1] چیست. توان یک روش کوتاه‌نویسی برای نشان دادن ضرب متوالی یک عدد در خودش است. به عنوان مثال، اگر عدد 5 را سه بار در خودش ضرب کنیم، به جای نوشتن 5 × 5 × 5، می‌نویسیم: $ 5^3 $.
- پایه[2]: عدد 5 است که عامل اصلی ضرب است.
- نما[3] (یا توان): عدد 3 است که نشان می‌دهد پایه چند بار در خودش ضرب شده است.
قانون طلایی تقسیم توان‌ها با پایه‌ی مشترک
فرض کنید می‌خواهیم دو عدد توان‌دار که پایه‌ی یکسانی دارند را بر هم تقسیم کنیم. قاعده بسیار ساده است:
$ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $
یعنی، اگر پایه‌ها مساوی باشند، برای به دست آوردن حاصل تقسیم، کافی است نمای صورت را از نمای مخرج کم کنیم و پایه را به این تفریق برسانیم.
مثال ۱ (ساده): حاصل $ \frac{7^5}{7^3} $ چقدر است؟
پایه‌ها هر دو 7 هستند. طبق قانون، نمای مخرج (3) را از نمای صورت (5) کم می‌کنیم: $ 5 - 3 = 2 $.
پس جواب می‌شود: $ 7^{2} = 49 $.
چرا این قانون کار می‌کند؟ یک توضیح شهودی
برای درک دلیل این قانون، عبارت $ \frac{5^4}{5^2} $ را در نظر بگیرید.
می‌دانیم $ 5^4 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 $ و $ 5^2 = 5 \times 5 $.
پس داریم:
$ \frac{5 \times 5 \times 5 \times 5}{5 \times 5} $.
در عمل تقسیم، دو عامل 5 از صورت و مخرج با هم ساده می‌شوند (یعنی حاصل هر کدام می‌شود 1). بنابراین، فقط $ 5 \times 5 = 5^2 $ باقی می‌ماند.
می‌بینید که در واقع، ما 4 - 2 = 2 عامل 5 در صورت داریم. این دقیقاً همان کاری است که قانون تفریق نماها انجام می‌دهد: $ 5^{4-2} = 5^2 $.
جدول جمع‌بندی حالت‌های مختلف تقسیم
| شرایط تقسیم | فرمول | مثال عددی | نتیجه |
|---|---|---|---|
| نمای صورت بزرگ‌تر از نمای مخرج باشد | $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $ | $ \frac{2^6}{2^2} $ | $ 2^{4} = 16 $ |
| نمای صورت و مخرج مساوی باشند | $ \frac{a^m}{a^m} = a^{m-m} = a^0 = 1 $ | $ \frac{9^3}{9^3} $ | 1 |
| نمای مخرج بزرگ‌تر از نمای صورت باشد | $ \frac{a^m}{a^n} = \frac{1}{a^{n-m}} $ | $ \frac{4^2}{4^5} $ | $ \frac{1}{4^{3}} = \frac{1}{64} $ |
کاربرد تقسیم توان‌ها در دنیای اطراف ما
مثال ۲ (تقسیم سلولی): فرض کنید یک سلول باکتری در یک محیط کشت، هر ساعت به دو سلول تقسیم می‌شود (یعنی هر سلول می‌شود 2 سلول). اگر با $ 2^8 $ سلول شروع کنیم و پس از ۳ ساعت، $ 2^5 $ سلول از بین بروند، چند سلول باقی می‌ماند؟
برای پیدا کردن تعداد سلول‌های باقی‌مانده، باید تقسیم را انجام دهیم. اما پایه‌ها یکی است (2). پس طبق قانون می‌نویسیم:
$ \frac{2^8}{2^5} = 2^{8-5} = 2^3 = 8 $.
پس 8 سلول باقی می‌ماند.
مثال ۳ (محاسبه‌ی مساحت): مساحت یک مربع با ضلع $ x^4 $ برابر است با $ (x^4)^2 = x^8 $ (چون مساحت مربع = ضلع × ضلع). اگر این مربع را به $ x^2 $ مربع کوچک‌تر و مساوی تقسیم کنیم، مساحت هر مربع کوچک چقدر است؟
باید مساحت کل را بر تعداد مربع‌ها تقسیم کنیم: $ \frac{x^8}{x^2} = x^{8-2} = x^6 $.
بنابراین مساحت هر مربع کوچک $ x^6 $ است.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
تقسیم اعداد توان‌دار با پایه‌های یکسان، یکی از زیباترین و کاربردی‌ترین قوانین ریاضی است. کلید حل این مسائل، به خاطر سپردن یک فرمول ساده است: $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $. به شرطی که $ a $ (پایه) صفر نباشد. با تمرین روی مثال‌های مختلف، به راحتی می‌توانید بر این مبحث مسلط شوید و محاسبات پیچیده را به سرعت انجام دهید.
پاورقی
[1]توان (Power/Exponent): در ریاضیات، به عمل ضرب متوالی یک عدد در خودش، توان‌گیری گفته می‌شود. عددی که در خودش ضرب می‌شود، پایه و تعداد دفعات ضرب، نما نام دارد.
[2]پایه (Base): در یک عدد توان‌دار، به عددی که بارها در خودش ضرب می‌شود، پایه می‌گویند.
[3]نما (Exponent): در یک عدد توان‌دار، عدد کوچکی که در بالا و سمت راست پایه نوشته می‌شود و نشان‌دهنده‌ی تعداد دفعات ضرب پایه در خودش است.
