هم‌نهشتی دو مثلث قائم‌الزاویه: حالت وتر و ساق
مثلث قائم‌الزاویه و اجزای آن
یک مثلث قائم‌الزاویه، مثلثی است که یک زاویهٔ آن برابر با $90^\circ$ (زاویه راست) باشد. به ضلع روبروی این زاویه، وتر۲ می‌گویند که بلندترین ضلع مثلث است. دو ضلع دیگر که زاویه راست را تشکیل می‌دهند، ساق۳ نامیده می‌شوند.
برای مثال، وقتی یک نردبان را به دیوار تکیه می‌دهید، نردبان، دیوار و زمین یک مثلث قائم‌الزاویه می‌سازند. در این حالت نردبان نقش وتر را بازی می‌کند.
| نام جزء | توضیح | مثال در نردبان |
|---|---|---|
| وتر | ضلع روبروی زاویه قائمه، بلندترین ضلع | خود نردبان |
| ساق‌ها | دو ضلع دیگر که زاویه قائمه را تشکیل می‌دهند | دیوار و زمین |
| زاویه قائمه | زاویه $90^\circ$ | محل برخورد دیوار و زمین |
هم‌نهشتی مثلث‌ها به چه معناست؟
وقتی می‌گوییم دو مثلث هم‌نهشت۴ هستند، یعنی از هر نظر (اندازه ضلع‌ها و زاویه‌ها) کاملاً یکسان هستند. فقط ممکن است جایشان عوض شده یا چرخیده باشند، مثل دو کاغذ برش خورده با یک الگو.
برای اثبات هم‌نهشتی، لازم نیست همهٔ شش جزء (سه ضلع و سه زاویه) را با هم مقایسه کنیم. قوانینی وجود دارد که با بررسی فقط سه جزء خاص می‌توانیم مطمئن شویم دو مثلث هم‌نهشت هستند. این قوانین را حالات هم‌نهشتی۵ می‌نامند.
قانون ویژه مثلث قائم‌الزاویه: وتر و ساق (HL)
مثلث‌های قائم‌الزاویه یک قانون خاص و بسیار کاربردی دارند به نام قاعده هم‌نهشتی وتر و ساق (HL)۹. این قانون می‌گوید:
چرا این قانون درست است؟ از قضیه فیثاغورس۱۰ کمک می‌گیریم. اگر وتر (c) و یک ساق (a) از دو مثلث برابر باشند، طبق فرمول $a^2 + b^2 = c^2$، ساق دیگر (b) نیز در هر دو مثلث باید یکسان باشد. در نتیجه هر سه ضلع با هم برابر شده و دو مثلث هم‌نهشت می‌شوند.
کاربرد قاعده وتر و ساق در زندگی
فرض کنید شما و دوستتان هر کدام یک تکه چوب به طول ۲ متر (به عنوان وتر) و یک تکه چوب به طول ۱/۲ متر (به عنوان یک ساق) دارید. اگر هر دوی شما با این چوب‌ها یک مثلث قائم‌الزاویه بسازید، مثلث‌های شما حتماً یکسان خواهند بود، حتی اگر در دو شهر مختلف باشید! این قدرت قاعده HL است.
این قاعده در ساخت‌وساز، نجاری و حتی طراحی برای اطمینان از یکسانی قطعات به کار می‌رود.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاسخ: بله، دقیقاً. این یک قاعده انحصاری برای مثلث‌هایی است که یک زاویه قائمه دارند. برای مثلث‌های دیگر باید از حالات دیگر هم‌نهشتی مانند SSS یا SAS استفاده کرد.
پاسخ: بله، اما این حالت دیگر قاعده HL نیست. این حالت خاصی از قاعده ضلع-زاویه-ضلع (SAS) است، زیرا زاویه قائمه بین دو ساق قرار دارد و اگر دو ساق برابر باشند، با استفاده از SAS هم‌نهشتی ثابت می‌شود.
پاسخ: یک اشتباه رایج این است که دانش‌آموزان فراموش می‌کنند شرط اول، قائم‌الزاویه بودن هر دو مثلث است. اگر مثلثی قائم‌الزاویه نباشد، حتی اگر وتر و یک ضلع آن با مثلث دیگری برابر باشند، نمی‌توان از قاعده HL استفاده کرد.
پاورقی
۱ قاعده هم‌نهشتی وتر و ساق (Hypotenuse-Leg Congruence Theorem - HL)
۲ وتر (Hypotenuse)
۳ ساق (Leg)
۴ هم‌نهشت (Congruent)
۵ حالات هم‌نهشتی (Congruence Theorems/Postulates)
۶ ضلع-ضلع-ضلع (Side-Side-Side - SSS)
۷ ضلع-زاویه-ضلع (Side-Angle-Side - SAS)
۸ زاویه-ضلع-زاویه (Angle-Side-Angle - ASA)
۹ قاعده وتر و ساق (Hypotenuse-Leg - HL)
۱۰ قضیه فیثاغورس (Pythagorean Theorem)
