هم‌نهشتی دو مثلث در حالت دو زاویه و ضلع بین

بروزرسانی شده در: 11:23 1404/09/6 مشاهده: 8 دسته بندی: کپسول آموزشی

هم‌نهشتی دو مثلث: حالت دو زاویه و ضلع بین (ASA)

کشف راز تساوی مثلث‌ها با دو زاویه و ضلع بین آنها

در دنیای هندسه، قضیه‌های هم‌نهشتی^۱ مثلث‌ها ابزارهای قدرتمندی برای اثبات تساوی شکل‌ها هستند. این مقاله به بررسی یکی از مهم‌ترین این حالت‌ها به نام هم‌نهشتی دو زاویه و ضلع بین می‌پردازد. شما با مطالعه این مقاله خواهید آموخت که چگونه با داشتن تنها دو زاویه و ضلع بین آنها در دو مثلث، می‌توانید ثابت کنید که این دو مثلث کاملاً برابر و هم‌نهشت هستند. مفاهیم کلیدی مانند شرط ASA، اثبات هم‌نهشتی و کاربردهای عملی آن با زبانی ساده و همراه با مثال‌های ملموس از محیط زندگی ارائه شده است.

هم‌نهشتی مثلث‌ها به چه معناست؟

دو مثلث را هم‌نهشت^۲ می‌نامیم اگر بتوانیم یکی را دقیقاً بر روی دیگری طوری قرار دهیم که کاملاً بر هم منطبق شوند. یعنی اندازه‌ی تمام ضلع‌ها و تمام زاویه‌های نظیر به نظیر آنها با هم برابر باشد. برای اینکه مجبور نباشیم هر بار این کار را به صورت فیزیکی انجام دهیم، ریاضیدانان چند حالت کلی را کشف کرده‌اند که اگر در دو مثلث برقرار باشد، حتماً آن دو مثلث هم‌نهشت هستند. یکی از این حالت‌های بسیار کاربردی، حالت دو زاویه و ضلع بین است.

شرط هم‌نهشتی ASA چیست؟

قاعده‌ی هم‌نهشتی ASA می‌گوید: اگر دو زاویه و ضلع بین آنها در یک مثلث، به ترتیب با دو زاویه و ضلع بین آنها در مثلث دیگر برابر باشد، آنگاه آن دو مثلث حتماً هم‌نهشت هستند.

فرمول قاعده: اگر در دو مثلث ABC و A'B'C' داشته باشیم: $\angle A = \angle A'$، $\angle B = \angle B'$ و $AB = A'B'$ آنگاه این دو مثلث هم‌نهشت هستند.
نکته: کلمه "بین" بسیار مهم است. ضلع داده شده باید دقیقاً بین دو زاویه‌ی داده شده قرار گرفته باشد.

چگونه ASA را در مسئله تشخیص دهیم؟

برای تشخیص این حالت در یک مسئله، این مراحل ساده را دنبال کنید:

گام	کاری که باید انجام دهید	مثال
1	دو زاویه‌ی برابر در دو مثلث پیدا کنید.	$\angle M = \angle P$
2	ضلع بین آن دو زاویه را مشخص کنید.	ضلع MN بین زاویه‌های M و N قرار دارد.
3	بررسی کنید که آن ضلع در هر دو مثلث برابر باشد.	$MN = PQ$
4	نتیجه‌گیری کنید که دو مثلث هم‌نهشت هستند.	مثلث‌ها هم‌نهشتند

کاربرد ASA در زندگی روزمره

فرض کنید می‌خواهید بدون اینکه از نردبان بالا بروید، ارتفاع یک درخت را اندازه بگیرید. یک روش ساده این است:

یک چوب را به صورت عمودی روی زمین نگه دارید.
از نقطهای روی زمین، هم به نوک درخت و هم به نوک چوب نگاه کنید. این دو خط دید، دو زاویه‌ی مساوی در رأس چشمان شما ایجاد می‌کنند.
فاصله بین چشمان شما تا چوب، و فاصله بین چشمان شما تا درخت را اندازه بگیرید. اگر این دو فاصله با هم متناسب باشند، مثلث تشکیل شده توسط چشمان شما و چوب، با مثلث تشکیل شده توسط چشمان شما و درخت، بر اساس حالت ASA هم‌نهشت هستند. در نتیجه می‌توانید ارتفاع درخت را محاسبه کنید!

مثال دیگر در ساخت و ساز است. برای اطمینان از اینکه دو تیر مثلثی شکل یک سقف کاملاً یکسان بریده شده‌اند، می‌توان با اندازه‌گیری دو زاویه و ضلع بین آنها در هر تیر، و مقایسه‌ی این اندازه‌ها، از یکسان بودن آنها مطمئن شد.

حل یک مثال گام به گام

در دو مثلث ABC و DEF داریم: $\angle A = \angle D = 60^\circ$، $\angle B = \angle E = 45^\circ$ و ضلع $AB = DE = 5$ سانتی‌متر. آیا این دو مثلث هم‌نهشت هستند؟

راه حل:
1. دو زاویه‌ی مساوی داریم: $\angle A = \angle D$ و $\angle B = \angle E$.
2. ضلع AB در مثلث ABC، بین زاویه‌های A و B قرار دارد.
3. ضلع DE در مثلث DEF، بین زاویه‌های D و E قرار دارد.
4. اندازه‌ی این ضلع بین نیز برابر است: $AB = DE$.
نتیجه: چون شرایط قاعده‌ی ASA برقرار است، دو مثلث ABC و DEF هم‌نهشت هستند.

اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم

سوال: آیا اگر دو زاویه و یک ضلع در دو مثلث برابر باشند، حتماً مثلث‌ها هم‌نهشت هستند؟

پاسخ: خیر، همیشه اینطور نیست. ضلع داده شده حتماً باید بین آن دو زاویه باشد. اگر ضلع برابر، رو به روی یکی از زاویه‌های داده شده باشد، ممکن است مثلث‌ها هم‌نهشت نباشند. این حالت دیگری به نام AAS است که خوشبختانه آن هم منجر به هم‌نهشتی می‌شود، اما قاعده‌ی ASA بر "ضلع بین" تاکید دارد.

سوال: تفاوت اصلی قاعده‌ی ASA با قاعده‌ی SAS چیست؟

پاسخ: در قاعده‌ی SAS، ما دو ضلع و زاویه‌ی بین آنها را داریم. اما در قاعده‌ی ASA، ما دو زاویه و ضلع بین آنها را داریم. در هر دو حالت، آن عنصر "بین" بسیار مهم و تعیین‌کننده است.

سوال: آیا با داشتن دو زاویه، نیاز به دانستن زاویه‌ی سوم هم هست؟

پاسخ: خیر. از آنجایی که مجموع زاویه‌های داخلی هر مثلث $180^\circ$ است، اگر دو زاویه را بدانیم، زاویه‌ی سوم به طور خودکار و منحصر به فرد مشخص می‌شود. به همین دلیل است که قاعده‌ی ASA کار می‌کند.

جمع‌بندی: قاعده‌ی هم‌نهشتی ASA یک ابزار مطمئن و قدرتمند در هندسه است که به ما اجازه می‌دهد با کمترین اطلاعات (دو زاویه و ضلع بین آنها)، تساوی کامل دو مثلث را اثبات کنیم. کلید موفقیت در استفاده از این قاعده، توجه دقیق به کلمه‌ی "بین" است. این قاعده نه تنها در حل مسائل کتاب درسی، بلکه در درک و اندازه‌گیری جهان اطراف ما نیز بسیار کاربردی است.

پاورقی

^۱هم‌نهشتی (Congruence): به تساوی کامل دو شکل از نظر اندازه و شکل گفته می‌شود. اگر دو شکل هم‌نهشت باشند، می‌توان یکی را دقیقاً بر روی دیگری منطبق کرد.
^۲هم‌نهشت (Congruent): صفتی است که برای توصیف دو شکل هم‌نهشت به کار می‌رود.
ASA: مخفف Angle-Side-Angle به معنای زاویه-ضلع-زاویه است.

همنهشتی مثلث قاعده ASA دو زاویه و ضلع بین هندسه پایه هشتم اثبات تساوی مثلث ها

پایهٔ هشتم ریاضی هشتم هم‌نهشتی دو مثلث در حالت دو زاویه

اطلاع از تغییرات در بسته‌های گاما

کاربر عزیز سلام!