راز مثلث‌های قائم‌الزاویه: پیدا کردن ضلع گمشده
مثلث قائم‌الزاویه چیست و چه اجزایی دارد؟
یک مثلث قائم‌الزاویه، مثلثی است که یک زاویهٔ آن دقیقاً 90 درجه باشد. به ضلعی که روبروی این زاویهٔ قائمه قرار دارد، وتر[2] می‌گویند که همیشه طولانی‌ترین ضلع مثلث است. دو ضلع دیگر که زاویهٔ قائمه را تشکیل می‌دهند، ساق‌ها[3] نام دارند. شناخت این اجزا اولین قدم برای استفاده از قضیه فیثاغورس است.
| نام جزء | توضیح | نماد در فرمول |
|---|---|---|
| وتر | ضلع روبروی زاویهٔ قائمه و طولانی‌ترین ضلع | c |
| ساق‌ها | دو ضلع دیگر که زاویهٔ قائمه را تشکیل می‌دهند | a , b |
قضیه فیثاغورس: رابطه‌ای جادویی بین اضلاع
قضیه فیثاغورس یک رابطهٔ ریاضی بسیار مهم بین طول سه ضلع مثلث قائم‌الزاویه است. این قضیه می‌گوید:
$ a^2 + b^2 = c^2 $
در این فرمول، a و b نشان‌دهندهٔ طول ساق‌ها و c نشان‌دهندهٔ طول وتر است. اگر طول دو ضلع را بدانیم، می‌توانیم طول ضلع سوم را حساب کنیم.
چگونه ضلع مجهول را پیدا کنیم؟
برای پیدا کردن ضلع مجهول، کافی است فرمول قضیه فیثاغورس را بر اساس ضلع مورد نظر بازنویسی کنیم. سه حالت کلی وجود دارد:
| ضلع مجهول | فرمول محاسبه | شرح |
|---|---|---|
| وتر (c) | $ c = \sqrt{a^2 + b^2} $ | اگر طول هر دو ساق را بدانیم، وتر از جذر مجموع مربعات آن‌ها به دست می‌آید. |
| یکی از ساق‌ها (a) | $ a = \sqrt{c^2 - b^2} $ | اگر وتر و یک ساق را بدانیم، ساق دیگر از جذر تفاضل مربع وتر و مربع ساق معلوم به دست می‌آید. |
| ساق دیگر (b) | $ b = \sqrt{c^2 - a^2} $ | همان حالت قبل، اما برای ساق دیگر. |
حل گام‌به‌گام یک مثال از دنیای واقعی
فرض کنید یک نردبان به دیوار خانه تکیه داده شده است. فاصلهٔ پای نردبان از دیوار 1.5 متر و طول نردبان 2.5 متر است. می‌خواهیم بدانیم نردبان تا چه ارتفاعی از دیوار بالا رفته است.
در اینجا نردبان نقش وتر (c = 2.5) و فاصله از دیوار نقش یک ساق (b = 1.5) را دارد. ارتفاع از دیوار، ساق مجهول (a) است.
- فرمول مناسب را انتخاب می‌کنیم: $ a = \sqrt{c^2 - b^2} $
- مقادیر معلوم را جایگزین می‌کنیم: $ a = \sqrt{(2.5)^2 - (1.5)^2} $
- عملیات ریاضی را انجام می‌دهیم:
$ a = \sqrt{6.25 - 2.25} $
$ a = \sqrt{4} $
$ a = 2 $
پس نردبان تا ارتفاع 2 متری از دیوار بالا رفته است.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاسخ: خیر. این قضیه فقط و فقط برای مثلث‌های قائم‌الزاویه صادق است. اگر مثلث شما زاویهٔ قائمه نداشته باشد، استفاده از این فرمول نتیجهٔ اشتباه می‌دهد.
پاسخ: فراموش کردن گرفتن جذر[4] در مرحلهٔ آخر است. بسیاری از دانش‌آموزان بعد از محاسبهٔ a² + b²، یادشان می‌رود که برای پیدا کردن طول واقعی ضلع (c)، باید از نتیجه جذر بگیرند. در مثال نردبان، اگر جذر 4 را نمی‌گرفتیم، جواب 4 متر می‌شد که اشتباه است.
پاسخ: نه لزوماً. شما می‌توانید از ماشین حساب برای به توان رساندن و جذر گرفتن اعداد اعشاری استفاده کنید. مهم این است که مراحل را به دقت و گام‌به‌گام انجام دهید.
پاورقی
[1]قضیه فیثاغورس (Pythagorean Theorem): قضیه‌ای در هندسه که رابطه بین اضلاع یک مثلث قائم‌الزاویه را بیان می‌کند.
[2]وتر (Hypotenuse): ضلع مقابل زاویه قائمه در یک مثلث قائم‌الزاویه.
[3]ساق‌ها (Legs): دو ضلع دیگری که زاویه قائمه را تشکیل می‌دهند.
[4]جذر (Square Root): عملیات ریاضی که عددی را به دست می‌آورد که وقتی در خودش ضرب شود، عدد اصلی را نتیجه دهد. مثلاً جذر 16 برابر 4 است.
