رسم بردارهای ترکیبی که شامل حاصل جمع مضرب‌های دو بردارند.

بردارهای ترکیبی: نقشه‌کشی از حرکت و نیرو

بردارها چیستند و چگونه نمایش داده می‌شوند؟

یک بردار¹ کمیتی است که هم اندازه و هم جهت دارد. برخلاف آن، یک عدد معمولی که فقط اندازه دارد، اسکالر² نامیده می‌شود. برای مثال، وقتی می‌گوییم ماشین با سرعت 60 کیلومتر بر ساعت به سمت شمال حرکت می‌کند، این سرعت یک بردار است. اما اگر فقط بگوییم 60 کیلومتر بر ساعت، این یک اسکالر است.

بردارها را معمولاً با یک پیکان نشان می‌دهند. طول پیکان نشان‌دهنده‌ی اندازه (مثلاً مقدار جابجایی یا نیرو) و جهت پیکان نشان‌دهنده‌ی جهت بردار است.

دو عمل اصلی: جمع برداری و ضرب اسکالر

برای کار با بردارهای ترکیبی، باید با دو عمل اصلی آشنا شویم: جمع برداری و ضرب یک عدد (اسکالر) در یک بردار.

جمع برداری

وقتی دو بردار را جمع می‌کنیم، در واقع اثرات آن‌ها را با هم ترکیب می‌کنیم. برای جمع دو بردار a و b، می‌توانیم از روش "پشت‌سرهم" استفاده کنیم: نقطه‌ی شروع بردار b را به نقطه‌ی پایان بردار a وصل می‌کنیم. بردار حاصل (a + b) پیکانی است که از نقطه‌ی شروع a به نقطه‌ی پایان b رسم می‌شود.

مثال: فرض کنید از خانه 2 کیلومتر به سمت شرق (بردار A) و سپس 3 کیلومتر به سمت شمال (بردار B) راه بروید. بردار جابجایی کل شما (A + B)، مسیر مستقیم از خانه تا نقطه‌ی نهایی شماست.

ضرب اسکالر در بردار

وقتی یک عدد (مثلاً k) را در یک بردار (a) ضرب می‌کنیم، یک بردار جدید به دست می‌آوریم. اندازه‌ی این بردار جدید، k برابر اندازه‌ی بردار اصلی است. اگر k مثبت باشد، جهت بردار جدید همان جهت a است. اگر k منفی باشد، جهت بردار جدید برعکس a خواهد بود.

مثال: اگر بردار F نشان‌دهنده‌ی یک نیرو باشد، بردار $3\vec{F}$ نشان‌دهنده‌ی اعمال همان نیرو اما با قدرتی سه برابر است.

ترسیم بردارهای ترکیبی: از فرمول تا شکل

حالا می‌خواهیم بردارهایی را رسم کنیم که حاصل ترکیب جمع و ضرب اسکالر هستند. یک بردار ترکیبی عمومی را می‌توان به صورت $k\vec{a} + m\vec{b}$ نشان داد، که در آن k و m اعداد حقیقی (اسکالر) هستند.

مراحل ترسیم بردار ترکیبی$\vec{c} = 2\vec{a} + (-1)\vec{b}$:

1. ابتدا بردار $2\vec{a}$ را رسم کن: این بردار هم‌جهت با a است اما اندازه‌اش دو برابر است.
2. سپس بردار $(-1)\vec{b}$ را رسم کن: این بردار اندازه‌ای برابر با b دارد اما جهت آن کاملاً برعکس b است.
3. حالا از روش پشت‌سرهم استفاده کن: نقطه‌ی شروع بردار $(-1)\vec{b}$ را به نقطه‌ی پایان بردار $2\vec{a}$ وصل کن.
4. بردار c، پیکانی است که از نقطه‌ی شروع $2\vec{a}$ به نقطه‌ی پایان $(-1)\vec{b}$ رسم می‌شود.

کاربرد بردارهای ترکیبی در بازی و ورزش

بیایید یک بازی فوتبال را در نظر بگیریم. فرض کنید بازیکن A توپ را با بردار سرعت v به سمت بازیکن B پاس می‌دهد. بازیکن B هم بلافاصله با یک ضربه‌ی قوی، توپ را به سمت دروازه شوت می‌کند. بردار سرعت شوت بازیکن B را می‌توان $3\vec{v}$ در نظر گرفت (یعنی سه برابر سریع‌تر از پاس اول).

حالا اگر بخواهیم مسیر کل توپ را از بازیکن A تا دروازه بعد از شوت بازیکن B به صورت یک بردار نشان دهیم، این بردار ترکیبی خواهد بود: مسیر پاس + مسیر شوت. اگر بردار پاس را p و بردار شوت را s بنامیم، بردار جابجایی کل توپ از نقطه‌ی شروع (A) تا نقطه‌ی پایان (دروازه) برابر است با $\vec{p} + \vec{s}$.

این بردار ترکیبی به ما می‌گوید که توپ در نهایت چه مسیری را در زمین فوتبال طی کرده است، حتی اگر مسیر مستقیمی نبوده باشد.

اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم

پاورقی

¹بردار (Vector): یک کمیت در ریاضیات و فیزیک که هم magnitude (اندازه) و هم direction (جهت) دارد.
²اسکالر (Scalar): یک کمیت فیزیکی که فقط عدد دارد و فاقد جهت است، مانند جرم یا دما.