ضرب عدد در بردار: بزرگنمایی و کوچکنمایی در دنیای ریاضی
بردار چیست و چه ویژگیهایی دارد؟
قبل از پرداختن به ضرب، باید بدانیم بردار چیست. یک بردار کمیتی است که هم اندازه (مقدار) و هم جهت دارد. برای مثال، وقتی شما با نیروی مشخصی یک میز را به سمت شمال هل میدهید، در حال اعمال یک بردار نیرو هستید. جابجایی، سرعت و نیرو همگی نمونههایی از کمیتهای برداری هستند. در مقابل، یک عدد حقیقی یا اسکالر فقط اندازه دارد و جهت ندارد؛ مثل دمای هوا، سن شما یا مساحت یک زمین.
| ویژگی | کمیت برداری (مثال: جابجایی) | کمیت اسکالر (مثال: مسافت) |
|---|---|---|
| اندازه | دارد (5 کیلومتر) | دارد (5 کیلومتر) |
| جهت | دارد (مثلاً به سمت شمال) | ندارد |
| نمایش | پیکان | عدد تنها |
ضرب عدد در بردار چگونه انجام میشود؟
وقتی یک عدد حقیقی (اسکالر) را در یک بردار ضرب میکنیم، در واقع هر یک از مولفههای بردار را در آن عدد ضرب میکنیم. اگر بردار $\vec{v} = (x, y)$ را داشته باشیم و آن را در عدد $k$ ضرب کنیم، حاصل بردار جدیدی خواهد بود به صورت $k\vec{v} = (k \times x, k \times y)$.
مثال: فرض کنید بردار جابجایی شما $\vec{d} = (3, 2)$ باشد. این میتواند به این معنی باشد که 3 واحد به سمت شرق و 2 واحد به سمت شمال حرکت کردهاید. اگر این جابجایی را در عدد 2 ضرب کنید، حاصل $2\vec{d} = (6, 4)$ خواهد بود. یعنی دو برابر مسافت قبلی را در همان جهت طی کردهاید.
اثر اعداد مثبت و منفی بر بردار
عددی که در بردار ضرب میشود، میتواند مثبت یا منفی باشد و هر کدام اثر متفاوتی دارند.
| مقدار عدد (k) | تغییر اندازه | تغییر جهت | مثال عملی |
|---|---|---|---|
| k > 1 | افزایش اندازه | جهت ثابت میماند | دو برابر کردن سرعت دوچرخهسواری به سمت پارک |
| 0 | کاهش اندازه | جهت ثابت میماند | کاهش سرعت دوچرخه به نصف |
| k (منفی) | اندازه تغییر میکند (بر حسب قدر مطلق k) | جهت معکوس میشود | عقبگرد از مسیر قبلی (برگشت به خانه) |
| k = 0 | بردار صفر میشود | تعریف نشده | توقف کامل (بیحرکتی) |
کاربردهای ضرب عدد در بردار در زندگی روزمره
این مفهوم ریاضی به ظاهر ساده، کاربردهای فراوانی در دنیای اطراف ما دارد. برای مثال، در ناوبری و مسیریابی، اگر نقشهای مقیاس 1:10000 داشته باشید، تمام بردارهای جابجایی روی نقشه باید در عدد 10000 ضرب شوند تا مسافت واقعی در دنیا به دست آید. در فیزیک، وقتی میخواهید نیروی وارد بر یک جسم را افزایش دهید (مثلاً دو نفر با هم یک ماشین را هل میدهند)، در واقع بردار نیرو را در یک عدد (مثلاً 2) ضرب میکنید. حتی در گرافیک کامپیوتری و بزرگنمایی یا کوچکنمایی یک تصویر، از ضرب اسکالر در بردارهای موقعیت نقاط استفاده میشود.
روایت کوتاه: تصور کنید با دوچرخه در مسیری مستقیم به سمت کتابخانه در حال حرکت هستید. سرعت و جهت حرکت شما یک بردار سرعت را تشکیل میدهد. اگر تصمیم بگیرید سرعت خود را سه برابر کنید (ضرب در عدد 3)، اندازه بردار سرعت شما سه برابر میشود اما جهت شما به سمت کتابخانه تغییر نمیکند. اگر سپس مسیر را اشتباه بروید و مجبور شوید برگردید، در واقع بردار سرعت شما در عدد -1 ضرب میشود تا جهت آن کاملاً معکوس گردد.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: بله، این ضرب خاصیت جابجایی دارد. بنابراین $k \times \vec{v} = \vec{v} \times k$ است و ترتیب مهم نیست.
پاسخ: یک اشتباه رایج، فراموش کردن ضرب همه مولفههای بردار در عدد اسکالر است. برای مثال، اگر بردار $\vec{v} = (2, 5)$ باشد، حاصل $3\vec{v}$ برابر با $(6, 15)$ است، نه $(6, 5)$.
پاسخ: خیر. ضرب دو بردار در همدیگر به روشی که در این مقاله توضیح داده شد (ضرب اسکالر در بردار) تعریف نشده است. روشهای دیگری برای ضرب دو بردار وجود دارد مانند ضرب نقطهای و ضرب برداری که در سطوح بالاتر ریاضیات آموزش داده میشوند.
پاورقی
۱ضرب عدد در بردار (Scalar Multiplication of Vector): عملیاتی که در آن هر مولفه یک بردار در یک عدد حقیقی ضرب میشود.
۲ضرب نردهای (Scalar Multiplication): همان ضرب عدد در بردار است. نردهای معادل اسکالر است.
۳عدد اسکالر (Scalar): یک عدد حقیقی که فقط دارای اندازه است و فاقد جهت میباشد.
۴بردار (Vector): کمیتی که هم اندازه و هم جهت دارد.
