ساده کردن عبارتهای جبری: هنر مرتبسازی ریاضی
عبارت جبری چیست و چه اجزایی دارد؟
یک عبارت جبری ترکیبی از اعداد، متغیرها[2] (مانند $x$ و $y$) و عملهای ریاضی مانند جمع و تفریق است. هر عبارت از بخشهای کوچکتری به نام «جمله»[3] تشکیل شده است. برای درک بهتر، فرض کنید میخواهید خرید یک بسته مداد و خودکار را محاسبه کنید.
| مثال از زندگی | عبارت جبری | توضیح اجزا |
|---|---|---|
| قیمت ۳ مداد و ۲ خودکار | $3x + 2y$ | دو جمله دارد: $3x$ و $2y$. متغیرها: $x$ (قیمت مداد)، $y$ (قیمت خودکار). ضرایب: ۳ و ۲. |
| هزینه یک بستنی و یک آبمیوه با تخفیف | $a + j - 5$ | سه جمله دارد: $a$، $j$ و $-5$. جمله ثابت: $-5$ (تخفیف ثابت). |
جملههای متشابه را چگونه تشخیص دهیم؟
جملههای متشابه، جملههایی هستند که قسمت متغیر یکسان (همان حروف و توانها) داشته باشند. فقط ضرایب آنها میتواند متفاوت باشد. مانند مرتبسازی اسباببازیها: همه ماشینها را با هم و همه عروسکها را جداگانه قرار میدهید.
مثال: در عبارت $2x + 3y - x + 5$:
- جملههای $2x$ و $-x$ متشابه هستند (هر دو قسمت متغیر $x$ دارند).
- جملههای $3y$ و $5$ متشابه با بقیه نیستند.
مراحل گامبهگام سادهسازی عبارتها
برای ساده کردن یک عبارت جبری، این سه مرحله ساده را دنبال کنید:
- جملههای متشابه را شناسایی کنید: همه جملههایی که قسمت متغیر یکسان دارند را پیدا و در کنار هم بنویسید.
- ضرایب آنها را با هم جمع یا تفریق کنید: مانند جمع و تفریق اعداد معمولی، اما قسمت متغیر بدون تغییر باقی میماند.
- عبارت سادهشده را بنویسید: نتیجه جمعبندی هر دسته از جملههای متشابه را به همراه سایر جملههای غیرمتشابه بنویسید.
سادهسازی در برنامهریزی مالی شخصی
فرض کنید میخواهید هزینههای هفتگی خود را محاسبه کنید. هر روز۲ بار با اتوبوس به مدرسه میروید (هر بار $b$ تومان) و ۱ بار میانوعده ($s$ تومان) میخرید. هزینه ۵ روز مدرسه چقدر است؟
عبارت اولیه: $5 \times (2b + s) = 10b + 5s$.
این عبارت قبلاً ساده است چون فقط دو جمله با قسمتهای متغیر متفاوت ($b$ و $s$) دارد. اگر مثلاً برای دو هفته محاسبه کنید: $2 \times (10b + 5s) = 20b + 10s$. بازهم عبارت سادهشده به همین شکل است.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: خیر. زیرا قسمت متغیر آنها ($x$ و $y$) متفاوت است. این دو مانند سیب و پرتقال هستند که نمیتوان آنها را مستقیماً با هم شمرد. عبارت $2x + 3y$ در سادهترین شکل خود است.
پاسخ: فقط جملههای $4a^2$ و $-a^2$ متشابه هستند زیرا هر دو قسمت متغیر $a^2$ دارند. جمله $2a$ متشابه با آنها نیست چون توان $a$ در آن متفاوت است. عبارت سادهشده: $(4-1)a^2 + 2a = 3a^2 + 2a$.
پاسخ: در چنین مواردی، ضریب آن جمله برابر با ۱ یا -۱ در نظر گرفته میشود. مثلاً $x$ در واقع همان $1x$ است و $-y$ همان $-1y$.
پاورقی
[1] جملههای متشابه (Like Terms): جملههایی در یک عبارت جبری که دارای قسمت متغیر و توان یکسان هستند.
[2] متغیر (Variable): نمادی (معمولاً یک حرف) که نشاندهنده یک مقدار ناشناخته یا قابل تغییر است.
[3] جمله (Term): هر یک از بخشهای یک عبارت جبری که با علامت + یا - از هم جدا شدهاند.
[4] ضریب (Coefficient): عدد ثابتی که در یک جمله جبری در جلوی متغیر ضرب میشود.
