نمودار درختی: نقشه‌ای برای تجزیه اعداد
نمودار درختی چیست و چگونه کار می‌کند؟
فرض کنید یک کیک بزرگ دارید و می‌خواهید آن را بین دوستانتان به قسمت‌های مساوی تقسیم کنید. ابتدا کیک را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کنید. سپس هر نیمه را دوباره به دو قسمت تقسیم می‌کنید و این کار را ادامه می‌دهید تا به تکه‌های کوچک و یکسانی برسید. نمودار درختی دقیقاً همین فرآیند را برای اعداد انجام می‌دهد. این نمودار شبیه یک درخت وارونه است که ریشه3 آن، عدد اصلی ماست و شاخه‌ها، عوامل آن عدد را نشان می‌دهند.
هدف اصلی از رسم این نمودار، رسیدن به اعدادی است که دیگر نتوان آن‌ها را به عوامل کوچکتر و صحیح تقسیم کرد. به این اعداد، اعداد اول می‌گویند. مانند 2، 3، 5، 7 و ...
چگونه یک نمودار درختی رسم کنیم؟
رسم نمودار درختی بسیار ساده است و فقط نیاز به کاغذ و قلم دارد. مراحل آن را با یک مثال واضح یاد می‌گیریم: تجزیه عدد 24.
گام اول: عدد 24 را به عنوان ریشه درخت در بالای صفحه بنویسید.
گام دوم: دو شاخه از آن خارج کنید و در انتهای شاخه‌ها، دو عددی که حاصل‌ضرب آن‌ها 24 می‌شود را بنویسید. برای مثال 6 و 4 (6 × 4 = 24).
گام سوم: به سراغ عدد 6 بروید. آیا می‌توان آن را به عوامل کوچکتر تجزیه کرد؟ بله، زیرا 6 = 2 × 3. پس از 6 دو شاخه خارج کرده و اعداد 2 و 3 را می‌نویسیم. این دو عدد اول هستند و کار ما با این شاخه تمام می‌شود.
گام چهارم: به سراغ عدد 4 بروید. آن را نیز به عواملش تجزیه می‌کنیم: 4 = 2 × 2. هر دو عامل، عدد اول 2 هستند.
گام پنجم: حالا همه اعداد انتهای شاخه‌ها (که دورشان دایره کشیده‌ایم) اعداد اول هستند. بنابراین تجزیه کامل شده است.
نمودار درختی عدد 24 به ما نشان می‌دهد که $24 = 2 \times 3 \times 2 \times 2$ یا به طور منظم‌تر $24 = 2^3 \times 3$.
| عدد مورد تجزیه | مراحل نمونه در نمودار درختی | عوامل اول نهایی |
|---|---|---|
| 36 | 36 → 6×6 → (2×3)×(2×3) | $2^2 \times 3^2$ |
| 50 | 50 → 5×10 → 5×(2×5) | $2 \times 5^2$ |
کاربرد نمودار درختی در حل مسائل کسرها
یکی از مهم‌ترین کاربردهای نمودار درختی، ساده کردن کسرها است. وقتی صورت و مخرج یک کسر را به عوامل اول تجزیه کنیم، می‌توانیم عوامل مشترک را حذف و کسر را به ساده‌ترین شکل ممکن بنویسیم.
مثال: کسر 18/24 را ساده کنید.
ابتدا با نمودار درختی، صورت و مخرج را تجزیه می‌کنیم:
- عوامل اول 18: $2 \times 3^2$
- عوامل اول 24: $2^3 \times 3$
حالا کسر را با عوامل اول می‌نویسیم: $\frac{2 \times 3^2}{2^3 \times 3}$
یک عامل 2 و یک عامل 3 از صورت و مخرج مشترک هستند و حذف می‌شوند. در نتیجه کسر ساده شده می‌شود: $\frac{3}{2 \times 2} = \frac{3}{4}$.
این روش مانند این است که یک پیتزا را ابتدا به 24 قطعه تقسیم کنید و 18 قطعه از آن را بردارید. سپس متوجه شوید که اگر همان پیتزا را از ابتدا به 4 قطعه تقسیم می‌کردید و 3 قطعه برمی‌داشتید، همان مقدار پیتزا را داشتید!
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاسخ: خیر، مهم نیست. شما می‌توانید عدد 24 را به صورت 4 × 6 یا 3 × 8 تجزیه کنید. در نهایت، اگر به درستی ادامه دهید، همیشه به همان عوامل اول 2 و 3 خواهید رسید. این ویژگی منحصر به فرد تجزیه به عوامل اول است.
پاسخ: کار شما با آن شاخه تمام شده است! عدد اول مانند یک "شاخه پایان" است. آن را دور بزنید یا رنگی کنید تا نشان دهید این آخرین مرحله برای آن بخش از درخت است.
پاسخ: بله، از نظر مجموعه عوامل اول نهایی، بله. این "قضیه اساسی حساب"5 نام دارد. یعنی مهم نیست از کدام مسیر (کدام ضرب‌ها) شروع کنید، در پایان همیشه همان اعداد اول را برای یک عدد خاص به دست می‌آورید. شکل درخت ممکن است متفاوت باشد، اما میوه‌های آن (عوامل اول) همیشه یکسان هستند.
پاورقی
1نمودار درختی (Tree Diagram): یک نمایش گرافیکی سلسله‌مراتلی که شبیه درخت است و برای شکستن یک مفهوم کلی به اجزای کوچکتر و جزئی‌تر استفاده می‌شود.
2عوامل اول (Prime Factors): اعداد اولی که حاصل‌ضرب آن‌ها برابر با عدد اصلی می‌شود.
3ریشه (Root): در نمودار درختی، به نقطه آغاز که مفهوم اصلی در آن قرار دارد، ریشه می‌گویند.
4عدد مرکب (Composite Number): عددی طبیعی بزرگتر از یک که عدد اول نباشد (یعنی بتوان آن را به عوامل کوچکتر تجزیه کرد).
5قضیه اساسی حساب (Fundamental Theorem of Arithmetic): این قضیه بیان می‌کند که هر عدد طبیعی بزرگتر از یک را می‌توان به طور یکتا (به جز ترتیب عوامل) به صورت حاصل‌ضرب اعداد اول نوشت.
