محاسبه حاصل ضرب و تقسیم دو عدد گویا
اعداد گویا چیستند؟
اعداد گویا، اعدادی هستند که می‌توان آن‌ها را به صورت کسر نوشت، یعنی به صورت $\frac{a}{b}$ که در آن a و b اعداد صحیح هستند و b نمی‌تواند صفر باشد. برای مثال، عدد $\frac{3}{4}$ یک عدد گویا است که نشان‌دهنده سه قسمت از یک کل چهارقسمتی است.
در زندگی روزمره، وقتی یک پیتزا را بین چهار دوست تقسیم می‌کنید، سهم هر نفر معادل عدد گویای $\frac{1}{4}$ پیتزا است.
ضرب اعداد گویا
برای ضرب دو عدد گویا، کافی است صورت[3] کسر اول را در صورت کسر دوم و مخرج[4] کسر اول را در مخرج کسر دوم ضرب کنیم. به فرمول کلی زیر توجه کنید:
$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$
| شرح مثال | مراحل محاسبه | نتیجه نهایی |
|---|---|---|
| ضرب $\frac{2}{3}$ در $\frac{4}{5}$ | $\frac{2 \times 4}{3 \times 5}$ | $\frac{8}{15}$ |
| ضرب با ساده‌سازی: $\frac{3}{4} \times \frac{8}{9}$ | ابتدا ساده می‌کنیم: $\frac{1}{1} \times \frac{2}{3}$ | $\frac{2}{3}$ |
تقسیم اعداد گویا
برای تقسیم دو عدد گویا، کافی است کسر اول را در معکوس[5] کسر دوم ضرب کنیم. معکوس یک کسر با جابجا کردن صورت و مخرج آن به دست می‌آید. فرمول کلی تقسیم به صورت زیر است:
$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$
| شرح مثال | مراحل محاسبه | نتیجه نهایی |
|---|---|---|
| تقسیم $\frac{2}{3}$ بر $\frac{4}{5}$ | $\frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{12}$ سپس ساده می‌کنیم. | $\frac{5}{6}$ |
| تقسیم یک عدد صحیح: $5 \div \frac{1}{2}$ | می‌نویسیم: $\frac{5}{1} \times \frac{2}{1}$ | $10$ |
کاربردهای عملی در زندگی روزمره
محاسبه ضرب و تقسیم اعداد گویا فقط یک تمرین ریاضی نیست، بلکه در بسیاری از موقعیت‌های زندگی از آن استفاده می‌کنیم.
مثال ۱ (پخت کیک): فرض کنید دستور پخت یک کیک برای ۴ نفر است و شما می‌خواهید آن را برای ۶ نفر آماده کنید. دستور اصلی نیاز به $\frac{2}{3}$ پیمانه شکر دارد. برای محاسبه مقدار شکر مورد نیاز برای ۶ نفر، باید این کسر را در $\frac{6}{4}$ (که معادل $\frac{3}{2}$ است) ضرب کنید: $\frac{2}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{6}{6} = 1$. یعنی به ۱ پیمانه شکر نیاز دارید.
مثال ۲ (تقسیم زمین): اگر یک زمین کشاورزی مستطیلی به مساحت $\frac{3}{4}$ هکتار را بخواهیم بین دو برادر به طور مساوی تقسیم کنیم، سهم هر کدام می‌شود: $\frac{3}{4} \div 2 = \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$ هکتار.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاورقی
[1]اعداد گویا (Rational Numbers): به اعدادی که بتوان آن‌ها را به صورت کسر $\frac{a}{b}$ نوشت، که در آن a و b اعداد صحیح و b مخالف صفر است.
[2]ساده‌سازی (Simplification): عملية تقسيم صورت و مخرج يك كسر بر بزرگ‌ترين مقسوم‌عليه‌مشترك آن‌ها به منظور كوچك‌تر و ساده‌تر شدن كسر.
[3]صورت (Numerator): عددی که در بالای خط کسر قرار می‌گیرد و نشان‌دهنده تعداد اجزای انتخاب شده است.
[4]مخرج (Denominator): عددی که در زیر خط کسر قرار می‌گیرد و نشان‌دهنده تعداد کل اجزای برابر یک کل است.
[5]معکوس (Reciprocal): حاصل جابجا کردن صورت و مخرج یک کسر. معکوس $\frac{a}{b}$ برابر است با $\frac{b}{a}$.
[6]مخرج مشترک (Common Denominator): عددی یکسان که مخرج دو یا چند کسر مختلف باشد و عمدتاً برای جمع و تفریق کسرها مورد نیاز است.
[7]عدد مخلوط (Mixed Number): عددی که از یک بخش صحیح و یک بخش کسری تشکیل شده است، مانند $2\frac{1}{3}$.
