جمع و تفریق اعداد گویا: از کیک تا خرید
اعداد گویا چه هستند؟
اعداد گویا، اعدادی هستند که می‌توان آن‌ها را به صورت کسر $\frac{a}{b}$ نشان داد که در آن a و b اعداد صحیح هستند و b نمی‌تواند صفر باشد. این اعداد شامل اعداد صحیح، کسرها و اعداد اعشاری می‌شوند. برای مثال، عدد -3 را می‌توان به صورت $\frac{-3}{1}$ و عدد 0.75 را به صورت $\frac{3}{4}$ نوشت.
جمع کردن اعداد گویا
برای جمع کردن اعداد گویا، ابتدا باید مطمئن شویم که مخرج‌های آن‌ها یکسان باشد. اگر مخرج‌ها متفاوت بودند، باید آن‌ها را به مخرج مشترک۳ تبدیل کنیم.
| مرحله | شرح | مثال |
|---|---|---|
| ۱ | بررسی یکسان بودن مخرج‌ها | $\frac{2}{5} + \frac{1}{5}$ → مخرج‌ها یکسان هستند. |
| ۲ | پیدا کردن مخرج مشترک (در صورت نیاز) | $\frac{1}{3} + \frac{1}{6}$ → مخرج مشترک 6 است. |
| ۳ | جمع کردن صورت‌ها | $\frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2+1}{5} = \frac{3}{5}$ |
| ۴ | ساده کردن کسر (در صورت امکان) | $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ |
مثال از زندگی: فرض کنید شما و دوستتان یک پیتزا را بین خودتان تقسیم کرده‌اید. شما $\frac{1}{4}$ از آن را خورده‌اید و دوستتان $\frac{2}{4}$ از آن را خورده است. در مجموع چه مقدار از پیتزا خورده شده است؟
$\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1+2}{4} = \frac{3}{4}$
پس در مجموع $\frac{3}{4}$ پیتزا خورده شده است.
تفریق اعداد گویا
تفریق اعداد گویا نیز دقیقاً مانند جمع کردن آن‌ها است، با این تفاوت که به جای جمع کردن صورت‌ها، آن‌ها را از هم کم می‌کنیم.
$\frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{a-c}{b}$
مثال از زندگی: شما $\frac{3}{4}$ لیتر شیر داشتید. برای درست کردن کیک، $\frac{1}{4}$ لیتر از آن را استفاده کردید. چه مقدار شیر باقی مانده است؟
$\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3-1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
بنابراین $\frac{1}{2}$ لیتر شیر باقی مانده است.
محاسبات با اعداد اعشاری
جمع و تفریق اعداد اعشاری بسیار ساده است. کافی است اعداد را به گونه‌ای زیر هم بنویسیم که ممیز۴های آن‌ها دقیقاً در زیر هم قرار گیرند، سپس مانند اعداد معمولی جمع یا تفریق را انجام دهیم و در آخر ممیز را در جای صحیح قرار دهیم.
مثال از خرید: شما یک خودکار به قیمت 5.25 هزار تومان و یک دفتر به قیمت 12.70 هزار تومان خریده‌اید. چه مبلغی باید بپردازید؟
12.70 + 5.25 = 17.95
شما باید 17.95 هزار تومان بپردازید.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاسخ: خیر. این یک اشتباه رایج است. ابتدا باید با پیدا کردن کوچکترین مخرج مشترک۵، مخرج‌ها را یکسان کنید و سپس صورت‌ها را جمع یا تفریق کنید.
پاسخ: می‌توانید در سمت راست عدد اعشاری که رقم‌های اعشاری کمتری دارد، صفر اضافه کنید تا تعداد ارقام اعشاری هر دو عدد برابر شود. سپس عمل تفریق را انجام دهید. برای مثال: 7.5 - 3.26 = 7.50 - 3.26 = 4.24
پاسخ: عدد صحیح را به صورت کسری با مخرج 1 بنویسید و سپس مخرج مشترک بگیرید. برای مثال:
$2 - \frac{1}{3} = \frac{2}{1} - \frac{1}{3} = \frac{6}{3} - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$
پاورقی
۱ اعداد گویا (Rational Numbers): به اعدادی که بتوان آن‌ها را به صورت کسر $\frac{a}{b}$ نشان داد، که در آن a و b اعداد صحیح و b مخالف صفر است.
۲ مخرج (Denominator): عدد پایینی در یک کسر.
۳ مخرج مشترک (Common Denominator): عددی که بتوان آن را به عنوان مخرج برای دو یا چند کسر مختلف در نظر گرفت.
۴ ممیز (Decimal Point): نقطه یا علامتی که قسمت صحیح یک عدد را از قسمت اعشاری آن جدا می‌کند.
۵ کوچکترین مخرج مشترک (Least Common Denominator - LCD): کوچکترین عددی که بتواند مخرج مشترک برای دو یا چند کسر باشد.
