نمایش جمع و تفریق عددهای گویا روی محور
اعداد گویا چیستند و چگونه روی محور نشان داده می‌شوند؟
اعداد گویا، اعدادی هستند که می‌توان آن‌ها را به صورت کسری۴ نوشت که صورت۵ و مخرج۶ آن عددهای صحیح۷ باشند و مخرج هم صفر نباشد. برای مثال، $\frac{1}{2}$، $3$ (که معادل $\frac{3}{1}$ است) و $-\frac{4}{5}$ همگی عددهای گویا هستند. محور اعداد یک خط راست است که اعداد را به ترتیب و با فاصله‌های مساوی نشان می‌دهد. نقطه‌ی صفر مرکز این محور است. اعداد مثبت در سمت راست و اعداد منفی در سمت چپ صفر قرار دارند.
برای نشان دادن یک عدد گویا مانند $\frac{3}{4}$ روی محور، واحد را به 4 قسمت مساوی تقسیم می‌کنیم و سپس 3 قسمت از سمت صفر به راست حرکت می‌کنیم. برای نمایش $-\frac{1}{2}$، واحد را به 2 قسمت تقسیم کرده و 1 قسمت به سمت چپ صفر می‌رویم.
چگونه جمع اعداد گویا را روی محور نمایش دهیم؟
برای جمع کردن دو عدد گویا روی محور، از نقطهٔ شروع (معمولاً صفر) به اندازهٔ عدد اول حرکت می‌کنیم. سپس از آن نقطه، به اندازهٔ عدد دوم به سمت راست حرکت می‌کنیم. نقطه‌ای که در آن توقف می‌کنیم، جواب جمع است.
مثال از زندگی: فرض کنید شما 1.5 کیلومتر به سمت شرق رفته‌اید (عدد مثبت). سپس تصمیم می‌گیرید 0.5 کیلومتر دیگر نیز به همان سمت بروید. موقعیت جدید شما نسبت به نقطهٔ شروع چقدر است؟ این یعنی $1.5 + 0.5$.
| گام | شرح عملیات | نمایش روی محور |
|---|---|---|
| 1 | از نقطهٔ صفر شروع کن. | ? نقطهٔ شروع |
| 2 | به اندازهٔ عدد اول ($1.5$) به سمت راست برو. | ➡️ حرکت به راست |
| 3 | از آن نقطه، به اندازهٔ عدد دوم ($0.5$) دوباره به سمت راست برو. | ➡️ حرکت به راست |
| 4 | به نقطه‌ای می‌رسی که جواب ($2$) است. | ? نقطهٔ پایان |
حالا یک مثال با کسر: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$. از صفر، $\frac{1}{2}$ به سمت راست می‌رویم. سپس $\frac{1}{4}$ دیگر به راست حرکت می‌کنیم. می‌بینیم که در نقطهٔ $\frac{3}{4}$ توقف می‌کنیم.
چگونه تفریق اعداد گویا را روی محور نمایش دهیم؟
تفریق نیز شبیه به جمع است، با این تفاوت که برای تفریق یک عدد، به سمت چپ حرکت می‌کنیم. برای حل $a - b$، از نقطهٔ شروع به اندازهٔ $a$ به راست می‌رویم و سپس به اندازهٔ $b$ به سمت چپ برمی‌گردیم.
مثال از زندگی: فرض کنید دمای هوا صبح 3 درجه بالای صفر بود. تا ظهر، دمای هوا 2 درجه کاهش یافته است. دمای جدید چقدر است؟ این یعنی $3 - 2$.
بیایید یک مثال با اعداد منفی را بررسی کنیم: $1 - 2.5$.
- از صفر شروع کن.
- به اندازهٔ $1$ به سمت راست برو.
- حالا باید $2.5$ تفریق کنی، یعنی $2.5$ واحد به سمت چپ حرکت کن.
- پس از حرکت، به نقطهٔ $-1.5$ می‌رسی. پس $1 - 2.5 = -1.5$.
کاربرد نمایش محوری در حل مسائل دنیای واقعی
درک این مفهوم به شما در موقعیت‌های مختلف زندگی کمک می‌کند. فرض کنید یک نوار اندازه‌گیری دارید و می‌خواهید طول یک میز را بدست آورید. اگر نقطهٔ صفر نوار را در یک سر میز قرار دهید و سر دیگر میز روی عدد 1.2 متر باشد، طول میز 1.2 متر است. حالا اگر بخواهید بدانید جمع طول این میز و یک میز 0.8 متری چقدر می‌شود، کافی است روی محور از 1.2 به اندازهٔ 0.8 به جلو (راست) بروید تا به جواب 2 متر برسید.
مثال دیگر در مدیریت پول توجیبی: فرض کنید 5 هزار تومان دارید (عدد مثبت) و 3 هزار تومان خرج می‌کنید (عمل تفریق). برای نمایش این روی یک محور فرضی، از صفر به 5 می‌روید و سپس 3 واحد به چپ بازمی‌گردید تا باقی‌ماندهٔ پول شما (2 هزار تومان) مشخص شود.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاسخ: جمع کردن یک عدد منفی، در واقع همان تفریق است. پس برای $2 + (-3)$، از نقطهٔ $2$ به اندازهٔ $3$ واحد به سمت چپ حرکت می‌کنیم تا به $-1$ برسیم.
پاسخ: در عمل جمع، خیر. زیرا جمع خاصیت جابجایی۸ دارد ($a + b = b + a$). اما در تفریق، بله. $a - b$ با $b - a$ متفاوت است. همیشه نقطهٔ شروع، عدد اول عمل تفریق است.
پاسخ: رایج‌ترین اشتباه، تقسیم‌بندی نادرست واحدها است. اگر می‌خواهید $\frac{2}{3}$ را نشان دهید، باید هر واحد را به 3 قسمت مساوی تقسیم کنید، نه 2 قسمت. دقت به مخرج کسر برای تقسیم‌بندی صحیح بسیار مهم است.
پاورقی
۱ جمع (Addition): عمل ریاضی ترکیب دو یا چند عدد برای به دست آوردن یک کل.
۲ تفریق (Subtraction): عمل ریاضی که نشان‌دهندهٔ حذف کردن یا کم کردن یک مقدار از مقدار دیگر است.
۳ اعداد گویا (Rational Numbers): اعدادی که می‌توان آن‌ها را به صورت کسری $\frac{a}{b}$ نوشت، که در آن a و b اعداد صحیح هستند و b ≠ 0.
۴ کسر (Fraction): نمایش یک عدد به صورت نسبت دو عدد صحیح.
۵ صورت (Numerator): عدد بالایی در یک کسر.
۶ مخرج (Denominator): عدد پایینی در یک کسر.
۷ اعداد صحیح (Integers): مجموعه‌ای از اعداد شامل ... , -2, -1, 0, 1, 2, ...
۸ خاصیت جابجایی (Commutative Property): خاصیتی در برخی عملیات‌های ریاضی (مانند جمع و ضرب) که ترتیب عملوندها نتیجه را تغییر نمی‌دهد.
