معکوس عدد گویا: کلید حل مسئله
عدد گویا و معکوس آن چیست؟
اعداد گویا، اعدادی هستند که می‌توان آن‌ها را به صورت کسر نوشت، یعنی به شکل $\frac{a}{b}$ که در آن a و b اعداد صحیح هستند و b نمی‌تواند صفر باشد. برای مثال، عدد 5 را می‌توان به صورت $\frac{5}{1}$ نوشت، پس یک عدد گویا است.
معکوس یک عدد گویا، عددی است که وقتی در عدد اصلی ضرب شود، حاصل برابر با 1 شود. به زبان ساده، اگر عدد ما $\frac{a}{b}$ باشد، معکوس آن $\frac{b}{a}$ خواهد بود. زیرا:
بیایید با یک مثال از زندگی این موضوع را بررسی کنیم. فرض کنید یک پیتزا داریم و آن را به 4 قسمت مساوی تقسیم کرده‌ایم. هر تکه، معادل $\frac{1}{4}$ پیتزا است. اگر بخواهیم دوباره کل پیتزا را بسازیم، باید همه‌ی تکه‌ها را کنار هم بگذاریم، یعنی $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1$. اما از نظر ضرب، معکوس $\frac{1}{4}$، عدد 4 یا $\frac{4}{1}$ است، چون $\frac{1}{4} \times 4 = 1$. پس معکوس، عملی است که اثر عدد اول را خنثی می‌کند و به حالت اول برمی‌گرداند.
| عدد گویا اصلی | معکوس آن | بررسی (حاصل ضرب) | مثال عینی |
|---|---|---|---|
| $\frac{2}{3}$ | $\frac{3}{2}$ | $\frac{2}{3} \times \frac{3}{2} = 1$ | معکوس دو‌سوم، سه‌دوم است. |
| $5$ یا $\frac{5}{1}$ | $\frac{1}{5}$ | $5 \times \frac{1}{5} = 1$ | معکوس ۵ تکه پیتزا، یک‌پنجم آن است. |
| $\frac{7}{4}$ | $\frac{4}{7}$ | $\frac{7}{4} \times \frac{4}{7} = 1$ | معکوس هفت‌چهارم، چهارهفتم است. |
| $\frac{1}{10}$ | $10$ | $\frac{1}{10} \times 10 = 1$ | معکوس یک‌دهم متر، ۱۰ متر است. |
چگونه معکوس یک عدد گویا را پیدا کنیم؟
برای پیدا کردن معکوس هر عدد گویا، مراحل ساده‌ای را دنبال می‌کنیم. این مراحل را با یک مثال پیش می‌بریم: پیدا کردن معکوس عدد $\frac{3}{8}$.
گام اول: تشخیص صورت و مخرج. در کسر $\frac{3}{8}$، عدد 3 صورت و عدد 8 مخرج است.
گام دوم: جابجایی صورت و مخرج. معکوس این کسر با جابجا کردن صورت و مخرج به دست می‌آید. پس معکوس می‌شود: $\frac{8}{3}$.
گام سوم: آزمایش. حاصل ضرب عدد اصلی در معکوس آن باید 1 شود: $\frac{3}{8} \times \frac{8}{3} = \frac{24}{24} = 1$. درست است!
حالا اگر عدد به صورت اعشاری بود چه؟ مثلاً عدد 0.2. در این صورت، اول آن را به کسر تبدیل می‌کنیم. می‌دانیم 0.2$ برابر است با $\frac{2}{10}$ یا $\frac{1}{5}$. حالا معکوس $\frac{1}{5}$ برابر است با $\frac{5}{1} = 5$. پس معکوس 0.2، عدد 5 است.
معکوس اعداد در عمل: تقسیم کسرها
یکی از مهم‌ترین کاربردهای معکوس اعداد گویا، در عمل تقسیم است. شما در پایه‌های قبل یاد گرفتید که برای تقسیم دو کسر، کسر اول را در معکوس کسر دوم ضرب می‌کنیم. اما چرا این کار را می‌کنیم؟
فرض کنید 6 سیب داریم و می‌خواهیم بین دوستانمان تقسیم کنیم تا به هر نفر $\frac{1}{2}$ سیب برسد. چند نفر سهم می‌برند؟ پاسخ 12 نفر است، زیرا $6 \div \frac{1}{2} = 12$. حالا به روش تقسیم کسرها نگاه کنید: $6 \div \frac{1}{2} = \frac{6}{1} \times \frac{2}{1} = 12$. دیدید که $\frac{2}{1}$ معکوس $\frac{1}{2}$ است. پس در واقع، تقسیم بر یک کسر، معادل است با ضرب در معکوس آن.
در این فرمول، $\frac{d}{c}$ معکوس کسر $\frac{c}{d}$ است.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاسخ: عدد صفر معکوس ندارد! زیرا هر عددی در صفر ضرب شود، می‌شود صفر، نه یک. هیچ وقت نمی‌توانیم عددی پیدا کنیم که در صفر ضرب شود و حاصل 1 شود. پس به یاد داشته باشید: معکوس صفر تعریف نشده است.
پاسخ: بله. فرض کنید عدد $-\frac{2}{5}$ را داریم. معکوس آن $-\frac{5}{2}$ است. چون $(-\frac{2}{5}) \times (-\frac{5}{2}) = \frac{10}{10} = 1$. منفی در منفی می‌شود مثبت و حاصل ضرب 1 می‌شود.
پاسخ: دقیقاً! زیرا $1 \times 1 = 1$. به طور کلی، معکوس هر عددی که صورت و مخرج آن برابر باشد (مانند $\frac{4}{4}$، $\frac{10}{10}$)، خود آن عدد است.
پاورقی
۱معکوس عدد گویا (Reciprocal of a Rational Number): عددی که وقتی در عدد گویای اصلی ضرب شود، حاصل ضرب برابر با ۱ گردد.
۲عدد گویا (Rational Number): هر عددی که بتوان آن را به صورت کسری از دو عدد صحیح نوشت که مخرج آن صفر نباشد.
۳معکوس ضربی (Multiplicative Inverse): نام دیگر معکوس یک عدد است.
