توان صفر: رمز عدد یک
توان چیست و چگونه کار می‌کند؟
قبل از پرداختن به توان صفر، باید بفهمیم توان اصلاً چیست. توان یک روش کوتاه‌نویسی برای نشان دادن ضرب چندباره‌ی یک عدد در خودش است. برای مثال، $ 5^3 $ یعنی عدد 5، سه بار در خودش ضرب شود: $ 5 \times 5 \times 5 = 125 $. به عدد 5، پایه۵ و به عدد 3، توان۱ یا نما۶ می‌گوییم.
فرض کنید یک داستان زنجیره‌ای دارید که هر نفر باید آن را برای ۲ نفر دیگر تعریف کند. اگر شما داستان را بدانید (این حالت مثل پایه است)، و آن را به ۲ نفر بگویید (توان اول: $ 2^1 $)، حالا 2 نفر ماجرا را می‌دانند. اگر هر کدام از آن‌ها هم برای ۲ نفر دیگر بگویند (توان دوم: $ 2^2 = 4 $)، حالا 4 نفر ماجرا را می‌دانند.
$ a^n = a \times a \times a \times ... \times a $ (n بار)
سفر به سمت توان صفر: الگویی شگفت‌انگیز
برای درک توان صفر، بهتر است یک الگوی عددی را با هم دنبال کنیم. جدول زیر نتیجه‌ی محاسبه‌ی عدد 2 را با توان‌های مختلف نشان می‌دهد.
| توضیح | نمایش توانی | نتیجه |
|---|---|---|
| عدد 2 در خودش 4 بار ضرب شود | $ 2^4 $ | 16 |
| عدد 2 در خودش 3 بار ضرب شود | $ 2^3 $ | 8 |
| عدد 2 در خودش 2 بار ضرب شود | $ 2^2 $ | 4 |
| عدد 2 در خودش 1 بار ضرب شود | $ 2^1 $ | 2 |
| عدد 2 در خودش 0 بار ضرب شود؟! | $ 2^0 $ | ؟ |
حالا به نتایج ستون سمت چپ دقت کن. هر بار که توان یکی کم می‌شود، جواب قبلی بر عدد 2 تقسیم می‌شود:
16 ➜ 8 (یعنی 16 ÷ 2 = 8)
8 ➜ 4 (یعنی 8 ÷ 2 = 4)
4 ➜ 2 (یعنی 4 ÷ 2 = 2)
پس برای پیدا کردن $ 2^0 $، باید جواب مرحله‌ی قبل، یعنی 2 را بر 2 تقسیم کنیم: 2 ÷ 2 = 1.
بنابراین $ 2^0 = 1 $.
توان صفر در زندگی روزمره
شاید فکر کنید این یک مفهوم کاملاً تئوری است، اما مثال‌های ملموسی وجود دارد. یک کیک خوشمزه را در نظر بگیرید. اگر دستور پخت کیک برای 8 نفر باشد و شما بخواهید آن را برای 8 نفر درست کنید، از همه‌ی مواد به اندازه‌ی $ 1 $ برابر (یعنی $ 8^1 \div 8^1 = 8^0 $) استفاده کرده‌اید. در واقع، شما یک "بار" کیک پخته‌اید. این "یک بار" همان مفهوم $ 1 $ است که از توان صفر نشأت می‌گیرد. یا وقتی یک ماشین حساب روشن می‌کنید، حتی اگر هیچ عملیاتی انجام نداده باشید، صفحه‌ی آن نشان‌دهنده‌ی عدد 1 (یا صفر) است که می‌توان آن را حالت پایه یا "هیچ عملی" در نظر گرفت که معادل همان $ 1 $ است.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
خیر. این تنها استثنا است. عبارت $ 0^0 $ در ریاضیات تعریف‌نشده۷ است. چون از یک طرف طبق قاعده‌ی توان صفر باید برابر 1 باشد، و از طرف دیگر، صفر به هر توانی برسد باز هم صفر می‌شود. این تناقض باعث می‌شود ریاضیدانان روی یک جواب توافق نداشته باشند، بنابراین آن را تعریف‌نشده می‌گذارند.
بله، قطعاً. $ 1^0 = 1 $. حتی اگر الگوی تقسیم بر پایه (که در بخش قبل گفتیم) را برای عدد 1 انجام دهیم، به همان نتیجه می‌رسیم. همچنین درک شهودی آن این است: یک "چیز" وجود دارد، اما هیچ عملی (صفر بار) روی آن انجام نمی‌دهیم، پس همان یک "چیز" سرجایش باقی می‌ماند.
بله. قاعده‌ی توان صفر برای همه‌ی اعداد به جز خود صفر صدق می‌کند. بنابراین $ (-5)^0 = 1 $ و $ (-100)^0 = 1 $. علامت عدد در اینجا تأثیری ندارد.
در این مقاله یاد گرفتیم که چرا هر عددی (به جز صفر) به توان صفر برابر با 1 است. این قاعده یک قرارداد دل‌خواه نیست، بلکه با دنبال کردن یک الگوی منطقی و تقسیم‌بندی‌های متوالی به دست می‌آید. این مفهوم که در نگاه اول ممکن است عجیب به نظر برسد، پایه‌ای برای درک قوانین پیچیده‌تر ریاضی در آینده خواهد بود و حتی در زندگی عادی ما هم نمونه‌هایی از آن را می‌بینیم.
پاورقی
۱ توان (Exponent): نشان می‌دهد یک عدد چند بار در خودش ضرب شده است.
۲ عدد یک (One): عدد خنثی در عمل ضرب. هر عددی در یک ضرب شود، برابر خودش می‌شود.
۳ قانون توان‌ها (Exponent Rules): مجموعه‌ای از قوانین برای ساده‌سازی محاسبات شامل توان.
۴ ریاضیات پایه (Basic Mathematics): مفاهیم و عملیات اولیه‌ی ریاضی.
۵ پایه (Base): عددی که در توان‌گذاری، در خودش ضرب می‌شود.
۶ نما (Exponent): همان توان؛ نشان‌دهنده‌ی تعداد دفعات ضرب پایه در خودش.
۷ تعریف‌نشده (Undefined): به یک عبارت ریاضی گفته می‌شود که برای آن مقدار مشخص و توافقی تعیین نشده است.
