قانون تقسیم با پایه‌های مساوی: وقتی توان‌ها از هم کم می‌شوند
توان و تقسیم چیست؟
قبل از یادگیری قانون تقسیم، باید بدانیم توان[1] و تقسیم به چه معنا هستند. توان، یک روش کوتاه‌نویسی برای نشان دادن ضرب چندباره یک عدد در خودش است. برای مثال، $ 5^3 $ یعنی عدد 5، سه بار در خودش ضرب شود: $ 5 \times 5 \times 5 = 125 $. تقسیم نیز عملی است که یک مقدار را به قسمت‌های مساوی تقسیم می‌کند.
اگر $ a $ یک عدد (غیرصفر) و $ m $ و $ n $ دو عدد طبیعی باشند، آنگاه: $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $
یادگیری قانون با یک مثال ملموس
فرض کنید یک جعبه بزرگ داریم که داخل آن $ 2^5 $ توپ (یعنی 32 توپ) وجود دارد. حالا می‌خواهیم این توپ‌ها را بین چند دوست تقسیم کنیم. اگر جعبه‌های کوچک‌تری داشته باشیم که هر کدام گنجایش $ 2^3 $ توپ (یعنی 8 توپ) را دارند، به چند جعبه کوچک نیاز داریم؟
برای حل این مسئله، باید تقسیم زیر را انجام دهیم: $ \frac{2^5}{2^3} $. طبق قانون، چون پایه‌ها (عدد 2) برابر هستند، توان‌ها را از هم کم می‌کنیم: $ 5 - 3 = 2 $. پس جواب می‌شود $ 2^2 $ که برابر است با 4 جعبه. می‌بینید که چقدر راحت و سریع به جواب رسیدیم!
انواع حالت‌ها در تقسیم توان‌ها
وقتی می‌خواهیم دو توان با پایه یکسان را تقسیم کنیم، سه حالت کلی پیش می‌آید. این حالت‌ها و نتیجه هرکدام در جدول زیر آورده شده‌اند:
| شرح حالت | فرمول تقسیم | نتیجه نهایی | مثال عددی |
|---|---|---|---|
| توان صورت بزرگ‌تر از مخرج باشد | $ \frac{a^m}{a^n} $ و $ m > n $ | $ a^{m-n} $ | $ \frac{7^5}{7^2} = 7^{5-2} = 7^3 $ |
| توان صورت و مخرج با هم برابر باشند | $ \frac{a^m}{a^m} $ | عدد 1 | $ \frac{4^3}{4^3} = 1 $ |
| توان مخرج بزرگ‌تر از صورت باشد | $ \frac{a^m}{a^n} $ و $ m | $ \frac{1}{a^{n-m}} $ | $ \frac{2^2}{2^5} = \frac{1}{2^{3}} $ |
چرا این قانون کار می‌کند؟ (یک نگاه از نزدیک)
برای درک دلیل این قانون، یک مثال ساده را با هم بررسی می‌کنیم. فرض کنید می‌خواهیم حاصل $ \frac{3^4}{3^2} $ را پیدا کنیم.
ابتدا صورت و مخرج را به صورت گسترده می‌نویسیم:
صورت: $ 3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 $
مخرج: $ 3^2 = 3 \times 3 $
پس تقسیم ما می‌شود: $ \frac{3 \times 3 \times 3 \times 3}{3 \times 3} $
حالا می‌توانیم یک 3 از صورت را با یک 3 از مخرج ساده کنیم (یعنی از بین ببریم). این کار را دو بار انجام می‌دهیم. در نهایت، دو عدد 3 در صورت باقی می‌ماند: $ 3 \times 3 = 3^2 $.
تعداد 3هایی که ساده شدند، در واقع همان توان مخرج (2) بود. از چهار تا 3 در صورت، دو تا از آن‌ها ساده شدند و دو تا باقی ماندند. پس در واقع ما عمل تفریق (4 - 2 = 2) را انجام داده‌ایم. به همین سادگی!
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاسخ: خیر. این قانون فقط زمانی کاربرد دارد که پایه‌های تقسیم کاملاً یکسان باشند. برای مثال، $ \frac{2^5}{3^2} $ را نمی‌توان با این قانون ساده کرد.
پاسخ: در این حالت، حاصل تقسیم به صورت کسری با توان مثبت نوشته می‌شود. به مثال سوم در جدول بالا دقت کنید. وقتی $ m باشد، نتیجه $ \frac{1}{a^{n-m}} $ می‌شود.
پاسخ: رایج‌ترین اشتباه، تقسیم کردن خود پایه‌ها است! برای مثال، در $ \frac{6^4}{6^2} $، برخی ممکن است عدد 6 را بر 6 تقسیم کنند. اما قانون به ما می‌گوید فقط و فقط توان‌ها را از هم کم می‌کنیم و پایه بدون تغییر باقی می‌ماند. پس جواب صحیح $ 6^{2} $ است.
پاورقی
[1]توان (Exponent): در ریاضیات، به عدد کوچکی که در بالا و سمت راست یک عدد (پایه) نوشته می‌شود و نشان‌دهنده تعداد دفعات ضرب پایه در خودش است، توان می‌گویند.
[2]پایه (Base): عددی که در عملیات توان، در خودش ضرب می‌شود.