توان: ضرب تکراری یک عدد در خودش

بروزرسانی شده در: 19:17 1404/08/25 مشاهده: 3 دسته بندی: کپسول آموزشی

توان: وقتی اعداد چند بار در خودشان ضرب می‌شوند

یک راه ساده و قدرتمند برای نشان دادن ضربهای پشت سر هم

مفهوم توان^۱ یک ابزار ریاضی مفید برای نشان دادن ضربهای مکرر یک عدد در خودش است. این مقاله به زبان ساده، بخش‌بندی و مثال‌های ملموس از زندگی روزمره، به توضیح پایه^۲ و نما^۳، محاسبه توان و کاربردهای عملی آن برای دانش‌آموزان پایه هفتم می‌پردازد.

توان چیست و اجزای آن کدامند؟

فرض کنید می‌خواهیم عدد 5 را سه بار در خودش ضرب کنیم. به جای نوشتن 5 × 5 × 5، می‌توانیم به طور خلاصه بنویسیم: $ 5^3 $. به این شکل از نمایش، توان می‌گویند.

نام جزء	توضیح	مثال
پایه^۲	عددی است که آن را چندین بار در خودش ضرب می‌کنیم.	در $ 5^3 $، پایه عدد 5 است.
نما^۳	عدد کوچکی که در بالا و سمت راست پایه نوشته می‌شود. نشان می‌دهد پایه چند بار در خودش ضرب شده است.	در $ 5^3 $، نما عدد 3 است.
خواندن توان	-	$ 5^3 $ را «پنج به توان سه» یا «پنج به توان سه» می‌خوانیم.

فرمول کلی توان: اگر $ a $ پایه و $ n $ نما باشد، آنگاه: $ a^n = a \times a \times a \times ... \times a $ (به تعداد $ n $ بار)

محاسبه توان با مثال‌های ساده

برای محاسبه یک توان، کافی است پایه را به تعداد عدد نما در خودش ضرب کنیم.

مثال ۱:$ 2^4 $ یعنی عدد 2 را چهار بار در خودش ضرب کنیم.

→ $ 2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 $

مثال ۲:$ 10^3 $ یعنی عدد 10 را سه بار در خودش ضرب کنیم.

→ $ 10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1000 $

عبارت توانی	معنی	حاصل
$ 3^2 $	3 × 3	9
$ 5^3 $	5 × 5 × 5	125
$ 4^1 $	عدد 4 فقط یک بار نوشته شده	4

توان در زندگی روزمره ما کجاست؟

شاید فکر کنید توان فقط یک مفهوم ریاضی است، اما مثال‌های زیادی از آن در اطراف ما وجود دارد:

۱. مساحت: وقتی می‌گوییم مساحت یک زمین مربع شکل 64 متر مربع است، یعنی هر ضلع آن 8 متر است. می‌توانیم این را به صورت توانی بنویسیم: $ 8^2 = 64 $.

۲. رشد جمعیت باکتری‌ها: فرض کنید یک باکتری هر یک ساعت به دو باکتری تقسیم شود. اگر با یک باکتری شروع کنیم، پس از ۴ ساعت چند باکتری داریم؟ این یک رشد نمایی است: $ 2^4 = 16 $ باکتری.

۳. محاسبه حجم: حجم یک مکعب که طول، عرض و ارتفاع آن برابر است با ضلع به توان سه. اگر ضلع یک جعبه مکعبی 3 سانتی‌متر باشد، حجم آن می‌شود: $ 3^3 = 27 $ سانتی‌متر مکعب.

اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم

سوال: آیا $ 2^3 $ با $ 3^2 $ برابر است؟

پاسخ: خیر. $ 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 $ اما $ 3^2 = 3 \times 3 = 9 $. پایه و نما در این دو عبارت متفاوت هستند، بنابراین حاصل آن‌ها نیز متفاوت است.

سوال: اگر نما عدد 1 باشد، حاصل توان چیست؟

پاسخ: هر عددی به توان یک، برابر با خودش می‌شود. زیرا آن عدد فقط یک بار نوشته شده و در خودش ضرب نشده است. مثال: $ 7^1 = 7 $، $ 100^1 = 100 $.

سوال: بزرگ‌ترین اشتباه در محاسبه توان چیست؟

پاسخ: رایج‌ترین اشتباه، ضرب پایه در نما است. به یاد داشته باشید که $ 5^3 $ به معنی 5 × 5 × 5 است، نه 5 × 3.

جمع‌بندی: توان یک روش خلاصه و کاربردی برای نشان دادن ضربهای پشت سرهم یک عدد در خودش است. این مفهوم از دو بخش پایه و نما تشکیل شده و در بسیاری از جنبه‌های زندگی مانند محاسبه مساحت، حجم و رشد جمعیت کاربرد دارد. مهم‌ترین نکته این است که توان را با ضرب ساده پایه در نما اشتباه نگیریم.

پاورقی

^۱توان (Exponent): در ریاضیات، به عملوند $ n $ در یک عبارت توانی مانند $ a^n $ گفته می‌شود که نشان‌دهنده تعداد دفعات ضرب پایه در خودش است.

^۲پایه (Base): در یک عبارت توانی مانند $ a^n $، به عدد $ a $ پایه می‌گویند. این عددی است که چندین بار در خودش ضرب می‌شود.

^۳نما (Exponent): در یک عبارت توانی مانند $ a^n $، به عدد $ n $ نما می‌گویند. این عدد کوچک که در بالا و سمت راست پایه نوشته می‌شود، نشان می‌دهد پایه چند بار در خودش ضرب شده است.

ریاضی پایه هفتم ضرب تکراری پایه و نما محاسبه توان کاربرد توان

پایهٔ هفتم ریاضی هفتم توان

اطلاع از تغییرات در بسته‌های گاما

کاربر عزیز سلام!