محیط و مساحت شکل‌ها با عبارت جبری
متغیرها در هندسه: زبان ریاضی برای اندازه‌های نامعلوم
فرض کنید می‌خواهید طول یک زمین ورزشی را نشان دهید، اما عدد دقیق آن را نمی‌دانید. در ریاضیات، از حروفی مانند \( a \)، \( b \) یا \( x \) برای نمایش این اندازه‌های نامشخص استفاده می‌کنیم. به این حروف متغیر۱ می‌گویند. وقتی می‌گوییم طول یک مستطیل \( l \) و عرض آن \( w \) است، یعنی می‌توانیم هر عددی را به جای این حروف قرار دهیم. این کار مانند داشتن یک الگو است؛ برای مثال، اگر الگوی دوخت یک کوسن را داشته باشید، می‌توانید با تغییر اندازه پارچه، کوسن‌های بزرگ یا کوچک بدوزید. متغیرها نیز چنین کاربردی دارند؛ آن‌ها به ما اجازه می‌دهند یک فرمول کلی برای همه‌ی مستطیل‌ها بنویسیم، بدون اینکه نیاز باشد برای هر اندازه، حساب جداگانه‌ای انجام دهیم.
محیط شکل‌های مختلف با عبارت جبری
محیط۲ به معنی جمع طول همه‌ی ضلع‌های یک شکل است. برای محاسبه‌ی محیط با متغیرها، کافی است اندازه‌های داده‌شده را با حروف نشان دهیم و سپس آن‌ها را با هم جمع کنیم. به مثال‌های زیر توجه کنید:
| شکل هندسی | فرمول محیط با متغیرها | مثال کاربردی |
|---|---|---|
| مستطیل | \( P = 2l + 2w \) | محیط باغچه‌ای به طول \( l \) و عرض \( w \) |
| مربع | \( P = 4a \) | محیط یک صفحه‌ی شطرنج که هر ضلع آن \( a \) است |
| مثلث | \( P = a + b + c \) | محیط یک پارچه‌ی سه‌گوش با اضلاع \( a \)، \( b \) و \( c \) |
مساحت شکل‌ها را چگونه با متغیرها نشان دهیم؟
مساحت۳ اندازه‌ی سطح داخل یک شکل دو بعدی است. برای نوشتن مساحت با عبارت جبری، باید فرمول مساحت آن شکل را بدانیم و سپس اندازه‌های لازم را با متغیرها جایگزین کنیم. این کار مانند آن است که بدانیم برای پختن یک کیک، به چه موادی نیاز داریم؛ اگر اندازه‌ی قالب کیک تغییر کند، مقدار مواد نیز عوض می‌شود. در هندسه هم اگر اندازه‌های شکل تغییر کند، مساحت آن متفاوت خواهد بود.
| شکل هندسی | فرمول مساحت با متغیرها | توضیح |
|---|---|---|
| مستطیل | \( A = l \times w \) | حاصل ضرب طول در عرض |
| مربع | \( A = a^2 \) | ضلع را در خودش ضرب می‌کنیم |
| مثلث | \( A = \frac{1}{2} b h \) | حاصل ضرب قاعده در ارتفاع تقسیم بر دو |
برای مثال، اگر بخواهیم مساحت یک زمین بسکتبال را محاسبه کنیم که طول آن \( l \) و عرض آن \( w \) است، عبارت جبری مساحت خواهد بود: \( A = l \times w \). اگر بعداً اندازه‌های واقعی را بدانیم، به راحتی می‌توانیم آن‌ها را جایگزین کرده و مساحت را پیدا کنیم.
کاربردهای عملی در زندگی روزمره
شاید بپرسید این محاسبات به چه درد ما می‌خورد؟ در بسیاری از موقعیت‌های واقعی از این عبارات استفاده می‌کنیم. برای مثال:
- محاسبه‌ی مقدار رنگ مورد نیاز برای دیوار: اگر ارتفاع دیوار را \( h \) و طول آن را \( l \) در نظر بگیریم، مساحت دیوار \( A = l \times h \) می‌شود. با دانستن این که هر قوطی رنگ چه مساحتی را می‌پوشاند، می‌توانیم تعداد قوطی‌های مورد نیاز را محاسبه کنیم.
- تعیین مقدار فرش برای اتاق: اگر طول و عرض اتاق را به ترتیب \( a \) و \( b \) بدانیم، مساحت کف اتاق \( A = a \times b \) است. این عدد به ما می‌گوید که چه اندازه فرشی نیاز داریم.
- ساخت یک قاب عکس: برای ساختن قاب یک عکس مربع‌شکل با ضلع \( s \)، باید محیط آن را بدانیم: \( P = 4s \). این مقدار به ما می‌گوید چه طولی از چوب برای قاب لازم داریم.
همان طور که می‌بینید، عبارات جبری مانند یک دستور العمل کلی عمل می‌کنند که برای شرایط مختلف قابل استفاده هستند.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاسخ: خیر. اگر شکل اضلاع مختلفی دارد، باید از متغیرهای مختلف استفاده کنیم. مثلاً در یک مستطیل، طول و عرض می‌توانند متفاوت باشند، پس بهتر است از دو متغیر \( l \) و \( w \) استفاده شود.
پاسخ: خیر. در ضرب، ترتیب اعداد مهم نیست. پس \( l \times w \) با \( w \times l \) برابر است. این خاصیت جابجایی ضرب نام دارد.
پاسخ: بسیاری از دانش‌آموزان فراموش می‌کنند که حاصل ضرب قاعده و ارتفاع باید تقسیم بر دو شود. همیشه به یاد داشته باشید که فرمول مساحت مثلث \( \frac{1}{2} \times \text{قاعده} \times \text{ارتفاع} \) است.
پاورقی
۱متغیر (Variable): نمادی (معمولاً یک حرف) که به جای یک عدد یا مقدار در یک عبارت ریاضی قرار می‌گیرد و می‌تواند تغییر کند.
۲محیط (Perimeter): اندازه‌ی دور یک شکل دو بعدی که از جمع طول تمام اضلاع آن به دست می‌آید.
۳مساحت (Area): اندازه‌ی سطح داخل یک شکل دو بعدی.