عبارت جبری: زبان ریاضی برای توصیف دنیای اطراف ما
عبارت جبری چیست و چه اجزایی دارد؟
فرض کنید به بقالی سر کوچه می‌روید تا چند عدد سیب بخرید. شما از قبل دقیقاً نمی‌دانید که قیمت سیب چقدر است یا چند عدد می‌خواهید بخرید. در ریاضی، برای نشان دادن این مقادیر ناشناخته از حروف (مانند $ x $ و $ y $) استفاده می‌کنیم که به آن‌ها متغیر۱ می‌گوییم. یک عبارت جبری۲ ترکیبی از این متغیرها، اعداد و عمل‌های ریاضی (مانند جمع، تفریق، ضرب و تقسیم) است. برای مثال، اگر قیمت هر سیب $ x $ تومان باشد و شما $ 5 $ عدد سیب بخرید، کل پولی که باید بپردازید با عبارت $ 5x $ نشان داده می‌شود.
هر عبارت جبری از بخش‌های کوچک‌تری به نام جمله تشکیل شده است. جمله‌ها با علامت + یا - از هم جدا می‌شوند. در هر جمله، عددی که در کنار متغیر نوشته می‌شود، عامل عددی۳ یا ضریب۴ نام دارد.
| عبارت جبری مثال | اجزا و جمله‌ها | عامل عددی (ضریب) |
|---|---|---|
| $ 3a + 7 $ | جمله اول: $ 3a $، جمله دوم: $ 7 $ | در جمله $ 3a $، عامل عددی 3 است. |
| $ 2x - 5y + 1 $ | سه جمله: $ 2x $، $ -5y $، $ 1 $ | در جمله $ 2x $ ضریب 2 و در $ -5y $ ضریب -5 است. |
| $ 6m $ | فقط یک جمله دارد. | عامل عددی 6 است. |
جمله‌های متشابه: دوستان هم‌ریخت
در یک عبارت جبری، جمله‌های متشابه۵ به جمله‌هایی گفته می‌شود که بخش حروفی یکسان داشته باشند. برای مثال، در عبارت $ 2x + 3y - x + 5 $، دو جمله $ 2x $ و $ -x $ متشابه هستند زیرا بخش حروفی هر دو $ x $ است. اما $ 3y $ با آن‌ها متشابه نیست چون بخش حروفی متفاوتی ($ y $) دارد.
این مفهوم در زندگی شبیه به دسته‌بندی اشیاء است. شما می‌توانید سیب‌ها را با هم و پرتقال‌ها را با هم در سبد جداگانه‌ای قرار دهید. در ریاضی نیز ما جمله‌های متشابه را با هم جمع یا تفریق می‌کنیم تا عبارت را ساده‌تر کنیم. برای ساده‌کردن عبارت بالا، $ 2x - x $ می‌شود $ x $. پس عبارت ساده‌شده می‌شود: $ x + 3y + 5 $.
محاسبه مقدار عددی یک عبارت
وقتی مقدار مشخصی برای متغیرها در نظر بگیریم، می‌توانیم مقدار عددی کل عبارت را حساب کنیم. این کار مانند پر کردن جاهای خالی یک فرمول است. مراحل آن بسیار ساده است:
گام ۱: مقدار داده شده برای هر متغیر را در عبارت جایگزین کنید.
گام ۲: عملیات ریاضی را با ترتیب صحیح (اول پرانتز، سپس ضرب و تقسیم، و در آخر جمع و تفریق) انجام دهید.
مثال: اگر $ a = 2 $ و $ b = 3 $ باشد، مقدار عددی عبارت $ 4a + b $ چقدر است؟
$ 4 \times (2) + (3) = 8 + 3 = 11 $
پس مقدار عددی این عبارت برابر با 11 است.
عبارت‌های جبری در زندگی روزمره
بیایید با چند مثال ببینیم که عبارت‌های جبری چگونه در اطراف ما حضور دارند:
۱. محاسبه هزینه خرید: اگر قیمت هر بستنی $ c $ تومان باشد و شما $ 4 $ بستنی بخرید، هزینه کل برابر است با $ 4c $.
۲. محاسبه مساحت: مساحت یک مستطیل از ضرب طول در عرض به دست می‌آید. اگر طول را $ l $ و عرض را $ w $ نشان دهیم، عبارت جبری مساحت می‌شود $ l \times w $.
۳. برنامه‌ریزی برای مهمانی: اگر برای هر مهمان $ 2 $ لیوان آبمیوه در نظر بگیرید و تعداد مهمان‌ها $ n $ نفر باشد، تعداد کل لیوان‌های آبمیوه مورد نیاز برابر است با $ 2n $.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
در این سفر کوتاه، یاد گرفتیم که یک عبارت جبری ترکیبی از اعداد، متغیرها و عمل‌های ریاضی است که مقدار ثابتی ندارد. اجزای اصلی آن شامل جمله‌ها و عامل‌های عددی است. با شناسایی جمله‌های متشابه می‌توانیم عبارات طولانی را ساده‌تر کنیم. همچنین، با جایگزین کردن مقادیر معلوم به جای متغیرها، می‌توان مقدار عددی هر عبارت را محاسبه کرد. این مفاهیم پایه‌ای، کلید حل بسیاری از مسائل ریاضی در زندگی و مدرسه هستند.
پاورقی
۱متغیر (Variable): نمادی (معمولاً یک حرف) که به جای یک عدد ناشناخته یا قابل تغییر در یک عبارت ریاضی قرار می‌گیرد.
۲عبارت جبری (Algebraic Expression): ترکیبی از اعداد، متغیرها و عمل‌های ریاضی که نشان‌دهنده یک مقدار ریاضی است.
۳عامل عددی (Numerical Coefficient): عدد ثابتی که در یک جمله جبری، یک متغیر یا حاصل‌ضرب چند متغیر را ضرب می‌کند.
۴ضریب (Coefficient): معادل دیگر عامل عددی.
۵جمله‌های متشابه (Like Terms): جمله‌هایی در یک عبارت جبری که بخش حروفی (متغیرها و توان آن‌ها) یکسانی دارند.
۶عدد ثابت (Constant): عبارتی جبری که فقط از یک عدد تشکیل شده و فاقد متغیر است.
