اولویت انجام عملیات ریاضی (Order of Operations)
چرا به قاعده‌ی ترتیب عملیات نیاز داریم؟
فرض کنید عبارت ساده‌ای مانند $ 5 + 3 \times 2 $ را بخواهیم محاسبه کنیم. اگر عملیات را از چپ به راست انجام دهیم، ابتدا 5 + 3 می‌شود 8 و سپس 8 × 2 برابر 16 خواهد شد. اما اگر ابتدا ضرب را انجام دهیم، 3 × 2 می‌شود 6 و سپس 5 + 6 برابر 11 می‌شود. این دو پاسخ متفاوت نشان می‌دهد که برای جلوگیری از سردرگمی و اطمینان از یک‌نواختی در محاسبات، به یک قانون جهانی نیاز داریم. این قانون، اولویت انجام عملیات ریاضی نام دارد.
قاعده‌ی PEMDAS: کلید حل معما
PEMDAS یک کلمه‌ی مخفف است که ترتیب عملیات را به خاطر سپردن آن آسان می‌کند. هر حرف نشان‌دهنده‌ی یک عمل ریاضی است:
| حرف | معنی | توضیح |
|---|---|---|
| P | پرانتز (Parentheses) | همیشه اول هر چیزی را که داخل پرانتز (یا کروشه یا آکولاد) است محاسبه کن. |
| E | توان (Exponents) | بعد از پرانتز، نوبت محاسبه‌ی توان‌ها و ریشه‌ها (مانند جذر) است. |
| M و D | ضرب (Multiplication) و تقسیم (Division) | این دو عمل دارای اولویت یکسان هستند. آن‌ها را از چپ به راست محاسبه کن. |
| A و S | جمع (Addition) و تفریق (Subtraction) | این دو عمل نیز در پایین‌ترین سطح اولویت قرار دارند و از چپ به راست انجام می‌شوند. |
گام‌به‌گام با مثال‌های کاربردی
بیایید قاعده‌ی PEMDAS را با چند مثال از ساده به پیچیده تمرین کنیم.
مثال ۱: یک عبارت پایه
عبارت $ 12 \div 4 \times 3 $ را در نظر بگیرید. چون ضرب و تقسیم اولویت یکسان دارند، از چپ به راست محاسبه می‌کنیم:
- گام ۱: 12 ÷ 4 = 3
- گام ۲: 3 × 3 = 9
پاسخ نهایی 9 است. اگر اشتباهاً ابتدا ضرب را انجام می‌دادیم (4 × 3 = 12 و سپس 12 ÷ 12 = 1) به جواب غلط می‌رسیدیم.
مثال ۲: استفاده از پرانتز
حالا عبارت $ (5 + 3) \times 2 $ را بررسی کنیم. پرانتز اولویت را تغییر می‌دهد:
- گام ۱ (P): محاسبه‌ی داخل پرانتز: 5 + 3 = 8. حالا عبارت می‌شود 8 × 2.
- گام ۲ (M): ضرب: 8 × 2 = 16.
همان‌طور که می‌بینید، پرانتز باعث شد ابتدا جمع انجام شود و پاسخ 16 به‌دست آید.
مثال ۳: ترکیب پرانتز و توان
عبارت $ 4 + 2^3 \times (10 - 8) $ را حل می‌کنیم:
- گام ۱ (P): داخل پرانتز: 10 - 8 = 2. عبارت می‌شود $ 4 + 2^3 \times 2 $.
- گام ۲ (E): محاسبه‌ی توان: $ 2^3 = 8 $. عبارت می‌شود 4 + 8 × 2.
- گام ۳ (M): ضرب: 8 × 2 = 16. عبارت می‌شود 4 + 16.
- گام ۴ (A): جمع: 4 + 16 = 20.
پاسخ نهایی 20 است.
پرانتزهای تودرتو و نمادهای گروه‌بندی
گاهی اوقات از چندین علامت گروه‌بندی مانند پرانتز ( )، کروشه [ ] و آکولاد { } به صورت تودرتو استفاده می‌شود. در این موارد، همیشه کار را از داخلی‌ترین گروه شروع می‌کنیم. برای مثال، در عبارت $ \{ 5 \times [ 2 + (3 - 1) ] \} \div 4 $:
- گام ۱: داخلی‌ترین پرانتز: (3 - 1) = 2. عبارت می‌شود $ \{ 5 \times [ 2 + 2 ] \} \div 4 $.
- گام ۲: کروشه: [2 + 2] = 4. عبارت می‌شود $ \{ 5 \times 4 \} \div 4 $.
- گام ۳: آکولاد: {5 × 4} = 20. عبارت می‌شود 20 ÷ 4.
- گام ۴: تقسیم: 20 ÷ 4 = 5.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
خیر. این بزرگترین اشتباه در مورد PEMDAS است. چون حرف M قبل از D آمده، بسیاری فکر می‌کنند ضرب اولویت بالاتری دارد. در واقع، ضرب و تقسیم اولویت یکسان دارند و باید از چپ به راست محاسبه شوند. همین قاعده برای جمع و تفریق نیز صادق است.
خط کسر خود یک نماد گروه‌بندی قدرتمند است. به این معنی که باید ابتدا کل صورت و سپس کل مخرج را جداگانه و کامل محاسبه کنید و در انتها تقسیم را انجام دهید. برای مثال، در کسر $ \frac{8 + 4}{2 \times 3} $، ابتدا صورت (8+4=12) و مخرج (2×3=6) را محاسبه کرده و سپس 12÷6=2 می‌شود.
در این حالت، مستقیماً به سراغ ضرب و تقسیم (از چپ به راست) می‌رویم و پس از اتمام آن‌ها، جمع و تفریق (از چپ به راست) را انجام می‌دهیم. برای مثال، در عبارت 10 - 3 + 2، از چپ به راست عمل می‌کنیم: 10 - 3 = 7 و سپس 7 + 2 = 9.
پاورقی
۱ اولویت عملیات ریاضی (Order of Operations)
۲ PEMDAS: مخفف Parentheses, Exponents, Multiplication, Division, Addition, Subtraction
۳ BODMAS: مخفف Brackets, Orders, Division, Multiplication, Addition, Subtraction. این مخفف معمولاً در برخی کشورهای انگلیسی‌زبان رایج است و معادل PEMDAS می‌باشد.