زاویههای مجاور: کشف رابطههای پنهان در هندسه
زاویههای مجاور چیستند؟
در هندسه، به دو زاویه که یک ضلع۲ و یک رأس۳ به صورت مشترک داشته باشند و نواحی داخلی آنها بر هم منطبق نباشد، زاویههای مجاور میگویند. این تعریف ساده، پایهای برای درک روابط پیچیدهتر بین زاویهها است.
برای تشخیص این زاویهها، باید سه شرط اصلی را بررسی کنید:
| شرط | توضیح |
|---|---|
| رأس مشترک | هر دو زاویه باید از یک نقطه مشترک شروع شوند. این نقطه، رأس آنها نام دارد. |
| ضلع مشترک | یکی از پرتوهای تشکیلدهندهی هر دو زاویه باید یکی باشد. |
| عدم همپوشانی | ناحیههای داخلی دو زاویه نباید بر یکدیگر منطبق شوند. |
به عنوان مثال، در شکل زیر، زاویههای $\angle ABD$ و $\angle DBC$ مجاور هستند. آنها رأس مشترک B و ضلع مشترک BD دارند.
انواع خاص زاویههای مجاور
گاهی اوقات، زاویههای مجاور رابطهٔ خاصی با یکدیگر دارند که آنها را بسیار مهم میکند. دو مورد بسیار رایج، زوایای متمم۴ و زوایای مکمل۵ هستند.
زوایای متمم: دو زاویهی مجاور که مجموع آنها برابر با ۹۰° (یک زاویهی قائمه) باشد. برای مثال، اگر $\angle ABC = 30^\circ$ و $\angle CBD = 60^\circ$ باشند، این دو زاویه متمم هستند زیرا $30^\circ + 60^\circ = 90^\circ$.
زوایای مکمل: دو زاویهی مجاور که مجموع آنها برابر با ۱۸۰° (یک خط راست) باشد. برای مثال، اگر $\angle PQR = 110^\circ$ و $\angle RQS = 70^\circ$ باشند، این دو زاویه مکمل هستند زیرا $110^\circ + 70^\circ = 180^\circ$.
کاربرد زاویههای مجاور در دنیای واقعی
شاید فکر کنید این مفاهیم فقط در کتابهای درسی وجود دارند، اما کاربردهای عملی زیادی در اطراف ما دارند.
مثال ۱: ساعت عقربهای عقربههای ساعتهای آنالوگ زاویههای مجاور جالبی ایجاد میکنند. فرض کنید ساعت ۳:۰۰ را نشان میدهد. عقربهی ساعتشمار روی عدد ۳ و عقربهی دقیقهشمار روی عدد ۱۲ است. زاویهی بین عقربهی ساعتشمار و عدد ۱۲، و زاویهی بین عدد ۱۲ و عقربهی دقیقهشمار، دو زاویهی مجاور هستند که با هم یک زاویهی ۹۰° (قائمه) را تشکیل میدهند.
مثال ۲: لولاهای در هنگامی که در را باز میکنید، زاویهی بین دیوار و در، و زاویهی بین در و کف اتاق، دو زاویهی مجاور هستند. با باز شدن در، اندازهی این زاویهها تغییر میکند اما همیشه در نقطهی لولا (رأس مشترک) به هم متصل میمانند.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: خیر. تنها اشتراک در رأس برای مجاورت کافی نیست. شرط اصلی، داشتن یک ضلع مشترک و عدم همپوشانی نواحی داخلی است. برای مثال، در یک ستاره، چندین زاویه میتوانند یک رأس مشترک داشته باشند اما چون ضلع مشترک ندارند، مجاور محسوب نمیشوند.
پاسخ: خیر. متمم یا مکمل بودن یک ویژگی اضافی است. دو زاویه میتوانند فقط به این دلیل که ضلع و رأس مشترک دارند مجاور باشند، بدون آنکه مجموع آنها ۹۰° یا ۱۸۰° شود. برای مثال، یک زاویهی ۴۰° و یک زاویهی ۳۰° که مجاور هستند، نه متممند (۷۰° ≠ ۹۰°) و نه مکمل (۷۰° ≠ ۱۸۰°).
پاسخ: این دو مفهوم کاملاً متفاوت هستند. زاویههای مجاور ضلع مشترک دارند. در حالی که زاویههای متقابل به رأس از تقاطع دو خط راست تشکیل میشوند، رأس مشترک دارند اما هیچ ضلع مشترکی ندارند و اندازهی آنها همیشه با هم برابر است.
پاورقی
۱زاویههای مجاور (Adjacent Angles): دو زاویه که یک ضلع و یک رأس مشترک دارند و نواحی داخلی آنها بر هم منطبق نیست.
۲ضلع (Side): هر یک از پرتوهایی که یک زاویه را تشکیل میدهند.
۳رأس (Vertex): نقطهای که دو ضلع (پرتو) یک زاویه در آن به هم میرسند.
۴زوایای متمم (Complementary Angles): به دو زاویه که مجموع آنها ۹۰° شود، گفته میشود.
۵زوایای مکمل (Supplementary Angles): به دو زاویه که مجموع آنها ۱۸۰° شود، گفته میشود.
