عدد مخلوط؛ عددی شامل یک عدد صحیح و یک کسر

عدد مخلوط: ترکیب اعداد صحیح و کسرها

عدد مخلوط چیست؟

یک عدد مخلوط (Mixed Number) عددی است که از دو بخش تشکیل شده است: یک عدد صحیح و یک کسر سره¹. کسر سره، کسری است که صورت آن از مخرجش کوچک‌تر باشد. عدد مخلوط نشان‌دهنده‌ی مجموع این دو بخش است.

برای مثال، عدد مخلوط $2\frac{3}{4}$ به این معنی است: $2 + \frac{3}{4}$. این عدد را به صورت «دو و سه‌چهارم» می‌خوانیم. این شکل از نمایش اعداد، برای نشان دادن مقادیری که از یک واحد کامل بیشتر اما به واحد کامل بعدی نرسیده‌اند، بسیار کاربردی است. مثلاً اگر دو کیک کامل داشته باشیم و سه‌چهارم از کیک دیگری نیز باقی مانده باشد، برای نشان دادن کل مقدار کیک از عدد مخلوط $2\frac{3}{4}$ استفاده می‌کنیم.

تبدیل کسر نامناسب به عدد مخلوط

کسر نامناسب² کسری است که صورت آن از مخرجش بزرگ‌تر یا مساوی باشد، مانند $\frac{7}{4}$ یا $\frac{8}{2}$. تبدیل این کسرها به عدد مخلوط، نمایش آن‌ها را ملموس‌تر می‌کند. مراحل این تبدیل بسیار ساده است:

مثال: کسر نامناسب $\frac{11}{3}$ را در نظر بگیرید.

1. تقسیم: $11 \div 3 = 3$ (خارج‌قسمت) و باقی‌مانده آن $2$ است.
2. بنابراین، عدد مخلوط معادل آن می‌شود: $3\frac{2}{3}$ (سه و دو‌سوم).

می‌توانیم برعکس این عمل را نیز انجام دهیم تا از درستی کار مطمئن شویم: $(3 \times 3) + 2 = 9 + 2 = 11$ → $\frac{11}{3}$

تبدیل عدد مخلوط به کسر نامناسب

گاهی برای انجام عملیات ریاضی مانند جمع و تفریق، لازم است عدد مخلوط را ابتدا به کسر نامناسب تبدیل کنیم. روش کار به این صورت است:

مثال: عدد مخلوط $2\frac{3}{5}$ را به کسر نامناسب تبدیل کنید.

1. $2 \times 5 = 10$
2. $10 + 3 = 13$
3. بنابراین، کسر نامناسب معادل آن می‌شود: $\frac{13}{5}$

جمع و تفریق اعداد مخلوط

برای جمع و تفریق اعداد مخلوط دو روش اصلی وجود دارد:

روش اول: تبدیل به کسر نامناسب
این روش همیشه جواب می‌دهد و برای دانش‌آموزان دبیرستانی مناسب‌تر است.
1. هر عدد مخلوط را به کسر نامناسب تبدیل کنید.
2. جمع یا تفریق کسرها را مانند همیشه انجام دهید (پیدا کردن مخرج مشترک).
3. در صورت لزوم، نتیجه را دوباره به عدد مخلوط ساده کنید.

مثال جمع:$1\frac{1}{4} + 2\frac{1}{2}$
→ تبدیل: $\frac{5}{4} + \frac{5}{2}$
→ مخرج مشترک: $\frac{5}{4} + \frac{10}{4} = \frac{15}{4}$
→ تبدیل به مخلوط: $\frac{15}{4} = 3\frac{3}{4}$

روش دوم: جمع‌زنی جداگانه
این روش برای دانش‌آموزان ابتدایی قابل درک‌تر است، اما اگر نتیجهٔ بخش کسری از ۱ بیشتر شود، نیاز به تنظیم دارد.
1. قسمت‌های صحیح را با هم جمع یا تفریق کنید.
2. قسمت‌های کسری را با هم جمع یا تفریق کنید (با پیدا کردن مخرج مشترک).
3. اگر قسمت کسری به دست آمده نامناسب شد، آن را به عدد صحیح تبدیل کرده و به قسمت صحیح اضافه کنید.
4. نتیجه نهایی را ساده کنید.

مثال جمع با روش دوم:$2\frac{2}{3} + 1\frac{1}{2}$
→ جمع صحیح‌ها: $2 + 1 = 3$
→ جمع کسرها: $\frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4}{6} + \frac{3}{6} = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$
→ جمع کل: $3 + 1\frac{1}{6} = 4\frac{1}{6}$

ضرب و تقسیم اعداد مخلوط

برای ضرب یا تقسیم اعداد مخلوط، حتماً باید ابتدا آن‌ها را به کسر نامناسب تبدیل کنید. پس از انجام عمل ضرب یا تقسیم روی کسرها، نتیجه را ساده کرده و در صورت لزوم به عدد مخلوط تبدیل نمایید.

مثال ضرب:$1\frac{1}{2} \times 2\frac{2}{3}$
→ تبدیل به کسر نامناسب: $\frac{3}{2} \times \frac{8}{3}$
→ ضرب صورت و مخرج: $\frac{3 \times 8}{2 \times 3} = \frac{24}{6} = 4$
نتیجه نهایی عدد صحیح $4$ است.

مثال تقسیم:$2\frac{1}{2} \div 1\frac{1}{4}$
→ تبدیل به کسر نامناسب: $\frac{5}{2} \div \frac{5}{4}$
→ تبدیل تقسیم به ضرب معکوس: $\frac{5}{2} \times \frac{4}{5}$
→ ضرب: $\frac{5 \times 4}{2 \times 5} = \frac{20}{10} = 2$

کاربرد اعداد مخلوط در زندگی روزمره

اعداد مخلوط فقط یک مفهوم انتزاعی ریاضی نیستند، بلکه در موقعیت‌های مختلف زندگی روزمره به کار می‌آیند:

• پخت و پز: در دستورهای غذایی اغلب از اعداد مخلوط استفاده می‌شود. مثلاً برای درست کردن یک کیک ممکن است به $2\frac{1}{2}$ پیمانه آرد نیاز داشته باشید.
• اندازه‌گیری: هنگام اندازه‌گیری طول، وزن یا حجم. مثلاً قد یک فرد ممکن است $1\frac{75}{100}$ متر باشد که به صورت $1.75$ متر نیز نشان داده می‌شود.
• مدیریت زمان: اگر یک فیلم $2$ ساعت و $15$ دقیقه طول بکشد، می‌توانیم مدت زمان آن را به صورت عدد مخلوط $2\frac{1}{4}$ ساعت بنویسیم (چون $15$ دقیقه یک‌چهارم ساعت است).
• فروشگاه‌ها: وزن بسیاری از میوه‌ها و مواد غذایی به صورت اعداد مخلوط بیان می‌شود، مانند $3\frac{1}{2}$ کیلوگرم.

اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم

پاورقی

¹کسر سره (Proper Fraction): کسری که صورت آن از مخرجش کوچک‌تر باشد، مانند $\frac{3}{4}$.

²کسر نامناسب (Improper Fraction): کسری که صورت آن از مخرجش بزرگ‌تر یا مساوی باشد، مانند $\frac{5}{3}$ یا $\frac{4}{4}$.