تابع مثلثاتی: از نسبتهای زاویه تا مختصات در دایره واحد
۱. تعریف تابع مثلثاتی بر اساس مثلث قائمالزاویه
نسبتهای مثلثاتی در ابتدا برای زوایای تند (بین 0 تا 90 درجه) در یک مثلث قائمالزاویه تعریف میشوند. اگر زاویهٔ θ را در نظر بگیریم، اضلاع مثلث به سه دسته تقسیم میشوند: مجاور (ضلع متصل به زاویه و قائمه)، مقابل (ضلع روبهروی زاویه) و وتر (بلندترین ضلع روبهروی زاویه قائمه).
شش تابع اصلی مثلثاتی به صورت نسبت بین این اضلاع تعریف میگردند:
$ \sin \theta = \frac{\text{مقابل}}{\text{وتر}} $ $ \cos \theta = \frac{\text{مجاور}}{\text{وتر}} $ $ \tan \theta = \frac{\text{مقابل}}{\text{مجاور}} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} $
توابع کتانژانت، سکانت و کسکانت نیز به صورت معکوس توابع بالا تعریف میشوند: $ \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} $، $ \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} $ و $ \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} $.
۲. دایره واحد: تعمیم توابع به تمام زوایا
برای تعریف توابع مثلثاتی برای هر زاویه دلخواه (حتی بزرگتر از 90 درجه و زوایای منفی) از دایره واحد استفاده میکنیم. دایره واحد دایرهای به شعاع 1 و مرکز در مبدأ مختصات است. اگر زاویهٔ θ را از محور x مثبت در خلاف جهت عقربههای ساعت رسم کنیم، نقطهٔ تقاطع ضلع انتهایی زاویه با دایره واحد مختصات (x, y) خواهد داشت. در این صورت:
به این ترتیب، سینوس و کسینوس به ترتیب برابر با طول و عرض نقطه روی دایره واحد میشوند. این تعریف برای هر زاویه حقیقی معتبر است و به ما اجازه میدهد تا توابع مثلثاتی را به صورت تناوبی با دورهٔ تناوب $ 2\pi $ رادیان (یا 360 درجه) بررسی کنیم.
| زاویه (درجه) | رادیان | sin θ | cos θ | tan θ |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30 | $ \frac{\pi}{6} $ | $ \frac{1}{2} $ | $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ | $ \frac{1}{\sqrt{3}} $ |
| 45 | $ \frac{\pi}{4} $ | $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ | $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ | 1 |
| 60 | $ \frac{\pi}{3} $ | $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ | $ \frac{1}{2} $ | $ \sqrt{3} $ |
| 90 | $ \frac{\pi}{2} $ | 1 | 0 | تعریفنشده |
۳. کاربرد عملی: محاسبه ارتفاع یک ساختمان با استفاده از تانژانت
فرض کنید در فاصلهٔ 50 متری پای یک ساختمان ایستادهاید و زاویهٔ بین خط دید شما به بالای ساختمان و سطح افقی برابر با 30 درجه است. برای یافتن ارتفاع ساختمان از تابع تانژانت استفاده میکنیم: $ \tan 30^\circ = \frac{\text{ارتفاع}}{\text{فاصله افقی}} $. با جایگذاری مقادیر داریم: $ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{50} $ که نتیجه میدهد $ h = \frac{50}{\sqrt{3}} \approx 28.87 $ متر. این مثال نشان میدهد که چگونه توابع مثلثاتی امکان اندازهگیری غیرمستقیم را فراهم میکنند.
۴. چالشهای مفهومی در توابع مثلثاتی
پاسخ: در زاویهٔ 90 درجه، ضلع مجاور (x) برابر صفر میشود. از آنجا که $ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} $ و $ \cos 90^\circ = 0 $، تقسیم بر صفر صورت میگیرد که در ریاضیات تعریفنشده است. نمودار تانژانت در این نقاط مجانب قائم دارد.
پاسخ: در دایره واحد، سینوس برابر با عرض نقطه (y) است. از آنجا که شعاع دایره برابر 1 است، نقطه روی محیط همواره مختصات y بین -1 و 1 خواهد داشت. در مثلث قائمالزاویه نیز وتر همیشه از هر ضلع دیگر بزرگتر است، بنابراین نسبت «مقابل بر وتر» هرگز از 1 بیشتر یا از -1 کمتر نمیشود.
پاسخ: توابع مثلثاتی تناوبی هستند. برای زاویه θ بزرگتر از 360 درجه، کافی است زاویه را به پیمانهٔ 360 درجه کاهش دهیم: $ \sin(\theta) = \sin(\theta - 360^\circ \times k) $ که در آن k بزرگترین عدد صحیح است به طوری که حاصل در بازهٔ $ [0, 360) $ قرار گیرد. برای مثال $ \sin 390^\circ = \sin(390^\circ - 360^\circ) = \sin 30^\circ = 0.5 $.
۵. اتحادهای مثلثاتی پایه
اتحادهای مثلثاتی رابطه بین توابع مختلف را بیان میکنند و برای سادهسازی عبارات و حل معادلات کاربرد دارند. مهمترین اتحاد، اتحاد فیثاغورثی است که از معادلهٔ دایره واحد به دست میآید:
از تقسیم این اتحاد بر $ \cos^2 \theta $ و $ \sin^2 \theta $ به ترتیب اتحادهای زیر حاصل میشوند:
پاورقی
1 دایره واحد (Unit Circle): دایرهای با شعاع یک و مرکز در مبدأ دستگاه مختصات دکارتی که برای تعریف توابع مثلثاتی برای همه اعداد حقیقی استفاده میشود.
2 روابط فیثاغورثی (Pythagorean Identities): اتحادهایی بر پایه قضیه فیثاغورث که ارتباط بین مربع سینوس و کسینوس یک زاویه را نشان میدهد: $ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 $.
3 اتحادهای مثلثاتی (Trigonometric Identities): تساویهایی که برای تمام زوایای مجاز برقرارند و رابطه بین توابع مثلثاتی مختلف مانند اتحادهای زاویه مضاعف، جمع و تفاضل زوایا را بیان میکنند.