قضیه تقسیم چندجملهایها (الگوریتم تقسیم)
بیان دقیق قضیه و یکتایی خارجقسمت و باقیمانده
فرض کنید f(x) و p(x) دو چندجملهای با ضرایب حقیقی (یا مختلط) باشند و p(x) \ne 0. اگر درجه p(x) بزرگتر از صفر باشد، یعنی deg(p) \gt 0، آنگاه چندجملهایهای یکتای q(x) و r(x) وجود دارند بهطوریکه:
و شرط r(x) = 0 یا deg(r) \lt deg(p) برقرار است. به عبارت دیگر، باقیمانده یا صفر است یا درجهاش به طور اکید از درجه مقسومعلیه p(x) کوچکتر است.
درباره یکتایی: اگر دو راه متفاوت برای نمایش f(x) به این شکل وجود داشته باشد، میتوان نشان داد که خارجقسمتها و باقیماندهها با هم برابرند. به همین دلیل میگوییم الگوریتم تقسیم یک نتیجه یکتا تولید میکند.
روش انجام تقسیم: تقسیم طولی چندجملهایها
برای اجرای قضیه تقسیم به صورت عملی، از روش تقسیم طولی (شبیه تقسیم اعداد) استفاده میکنیم. گامهای کلی عبارتند از:
- مرتب کردن جملههای هر دو چندجملهای f(x) و p(x) به صورت نزولی بر اساس توان متغیر.
- تقسیم جمله با بالاترین درجه در f(x) بر جمله با بالاترین درجه در p(x) تا اولین جمله خارجقسمت به دست آید.
- ضرب این جمله در p(x) و کم کردن حاصل از f(x).
- تکرار فرایند روی باقیمانده جدید تا جایی که درجه باقیمانده از درجه مقسومعلیه کوچکتر شود.
مثال گامبهگام: فرض کنید میخواهیم f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 5x + 1 را بر p(x) = x - 2 تقسیم کنیم.
- جمله اول خارجقسمت: $\frac{2x^3}{x} = 2x^2$.
- ضرب در مقسومعلیه: $2x^2 \cdot (x - 2) = 2x^3 - 4x^2$.
- تفریق: $(2x^3 + 3x^2) - (2x^3 - 4x^2) = 7x^2$. سپس جمله $-5x$ را پایین میآوریم: $7x^2 - 5x$.
- جمله دوم خارجقسمت: $\frac{7x^2}{x} = 7x$.
- ضرب: $7x \cdot (x-2) = 7x^2 - 14x$.
- تفریق: $(7x^2 - 5x) - (7x^2 - 14x) = 9x$. سپس جمله $+1$ را پایین میآوریم: $9x + 1$.
- جمله سوم خارجقسمت: $\frac{9x}{x} = 9$.
- ضرب: $9 \cdot (x-2) = 9x - 18$.
- تفریق نهایی: $(9x+1) - (9x-18) = 19$.
بنابراین خارجقسمت $q(x) = 2x^2 + 7x + 9$ و باقیمانده $r(x) = 19$ (که درجه صفر دارد و از درجه $p(x)=1$ کوچکتر است).
مقایسه باقیمانده در حالتهای مختلف مقسومعلیه
در جدول زیر چند حالت مختلف از مقسومعلیه و باقیمانده را مشاهده میکنید. این جدول به درک بهتر شرط $deg(r) \lt deg(p)$ کمک میکند.
| نوع مقسومعلیه p(x) | درجه p | فرم باقیمانده r(x) | مثال |
|---|---|---|---|
| خطی (درجه 1) | 1 | عدد ثابت (درجه 0) | $x^2 \div (x-1)$ باقیمانده 1 |
| درجه 2 (مثل $x^2+1$) | 2 | خطی یا ثابت (درجه \le 1) | $x^3 \div (x^2+1)$ باقیمانده $-x$ |
| مقسومعلیه با درجه بالاتر از مقسوم | k \gt deg(f) | خود f(x) (چون خارجقسمت صفر است) | $x+1 \div (x^2+1)$ → $q=0, r=x+1$ |
کاربرد عملی: یافتن مقدار چندجملهای در یک نقطه (قضیه باقیمانده)
یکی از مهمترین نتیجههای قضیه تقسیم، قضیه باقیمانده1 است. طبق این قضیه، اگر چندجملهای f(x) را بر (x - c) تقسیم کنیم، باقیمانده برابر با f(c) خواهد بود. این یعنی بدون انجام تقسیم طولی میتوان مقدار چندجملهای را در نقطه c محاسبه کرد.
مثال عینی: فرض کنید f(x) = x^3 - 2x^2 + 4x - 8 و میخواهیم f(2) را پیدا کنیم. اگر f(x) را بر x-2 تقسیم کنیم، باقیمانده مستقیماً f(2) خواهد بود. با جایگذاری: $2^3 - 2(4) + 4(2) - 8 = 8 - 8 + 8 - 8 = 0$. بنابراین f(2)=0 و (x-2) یک عامل f(x) است. این روش پایه قضیه عامل2 در تجزیه چندجملهایها به شمار میرود.
چالشهای مفهومی
پاسخ: در این حالت خارجقسمت $q(x)=0$ و باقیمانده $r(x)=f(x)$ است، زیرا شرط $deg(r) \lt deg(p)$ به طور خودکار برقرار است. مثال: $x+1$ بر $x^2+1$.
پاسخ: قضیه تقسیم شرط میکند که $p(x) \ne 0$ و $deg(p) \gt 0$. بنابراین مقسومعلیه هرگز چندجملهای صفر نیست و تقسیم همواره امکانپذیر است. در صورتی که $p(x)$ ثابت غیرصفر باشد، قضیه به شکل سادهتری قابل تعمیم است.
پاسخ: یکتایی تضمین میکند که الگوریتم تقسیم، مستقل از روش اجرا، به یک نتیجه واحد برسد. این ویژگی در اثباتهای بعدی مانند قضیه بزو3 و تجزیه به عوامل خطی کاربرد اساسی دارد.
جمعبندی
پاورقی
1 قضیه باقیمانده (Remainder Theorem): اگر چندجملهای f(x) بر (x-c) تقسیم شود، باقیمانده برابر f(c) است.
2 قضیه عامل (Factor Theorem): (x-c) یک عامل از f(x) است اگر و تنها اگر f(c)=0.
3 قضیه بزو (Bézout's Theorem): تعمیمی از قضیه عامل برای چندجملهایهای چندمتغیره، اما در حالت یکمتغیره همان قضیه باقیمانده است.