فرمول ترکیب: از مفهوم تا محاسبه
مفهوم فاکتوریل و نمادگذاری
پیش از پرداختن به فرمول اصلی، باید با مفهوم فاکتوریل آشنا شویم. فاکتوریل یک عدد طبیعی مانند n که با نماد $n!$ نشان داده میشود، حاصل ضرب تمام اعداد طبیعی از 1 تا n است. برای مثال: $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$. دو حالت ویژه نیز داریم: $1! = 1$ و $0! = 1$. فاکتوریل نقش پایهای در محاسبات آنالیز ترکیبی دارد.
فرمول استاندارد ترکیب
ترکیب که با نمادهای $\binom{n}{r}$ یا $C(n,r)$ یا $_nC_r$ نمایش داده میشود، تعداد حالتهای انتخاب r عنصر از یک مجموعهی n عنصری را به ما میدهد، به شرطی که $0 \le r \le n$. فرمول آن به صورت زیر است:
در این رابطه، $n!$ فاکتوریل تعداد کل اشیاء، $r!$ فاکتوریل تعداد اشیاء انتخابی، و $(n-r)!$ فاکتوریل اشیاء باقیمانده است.
درک تفاوت: ترکیب در مقابل جایگشت
مهمترین نکته در درک فرمول ترکیب، تفاوت آن با جایگشت است. در جایگشت، ترتیب انتخاب اهمیت دارد، اما در ترکیب، ترتیب اهمیتی ندارد و تنها اعضای انتخاب شده مهم هستند. برای روشن شدن موضوع، فرض کنید میخواهیم از بین سه کتاب (الف، ب، ج) دو کتاب انتخاب کنیم:
- اگر ترتیب مهم باشد (جایگشت)، انتخاب (الف، ب) با (ب، الف) دو حالت جدا هستند.
- اگر ترتیب مهم نباشد (ترکیب)، هر دو انتخاب بالا یکی محسوب میشوند.
به همین دلیل، تعداد ترکیبها همواره از تعداد جایگشتها کمتر یا مساوی است. در واقع، رابطهی بین آنها به صورت $\binom{n}{r} = \frac{P(n,r)}{r!}$ است.
کاربردهای عملی و مثالهای عینی
فرمول ترکیب کاربردهای گستردهای در زندگی روزمره و علوم مختلف دارد. در ادامه به چند مثال عینی اشاره میکنیم:
- مثال اولانتخاب اعضای کمیته: فرض کنید در یک کلاس 15 نفره میخواهیم یک کمیتهی 4 نفره تشکیل دهیم. تعداد حالتهای ممکن برابر است با $\binom{15}{4} = \frac{15!}{11! \times 4!} = 1365$ حالت.
- مثال دومخرید بستنی: یک بستنی فروشی 10 طعم مختلف دارد. اگر بخواهیم یک بستنی با 3 طعم متفاوت انتخاب کنیم و ترتیب قرارگیری طعمها روی بستنی برایمان مهم نباشد، تعداد انتخابها $\binom{10}{3} = 120$ حالت است.
- مثال سومبازی لوتو: در یک بازی که باید از بین 49 عدد، 6 عدد را انتخاب کنید، شانس برنده شدن شما $\frac{1}{\binom{49}{6}}$ است. مقدار $\binom{49}{6}$ برابر با 13,983,816 است.
چالشهای مفهومی رایج
$\binom{n}{0}$ به معنای انتخاب هیچ عنصری از مجموعه است که فقط یک راه دارد (انتخاب نکردن). به طریق مشابه، $\binom{n}{n}$ به معنای انتخاب همهی عناصر است که آن هم فقط یک راه دارد. با استفاده از فرمول و قرارداد $0! = 1$، این نتایج تأیید میشوند.
خیر. در ترکیب، گروه انتخاب شده به عنوان یک مجموعه در نظر گرفته میشود، نه یک لیست مرتب. برای مثال، انتخاب سه نفر {علی، سارا، رضا} با انتخاب {سارا، رضا، علی} یکسان است.
به کلمات کلیدی در صورت مسئله توجه کنید. اگر کلماتی مانند «انتخاب»، «تشکیل کمیته»، «برداشتن»، «گروه» و «ترتیب اهمیتی ندارد» وجود داشته باشد، به احتمال زیاد مسئله از نوع ترکیب است. در مقابل، اگر کلماتی مانند «ردیف»، «چیدن»، «مرتبسازی» و «ترتیب مهم است» ببینید، مسئله از نوع جایگشت است.
جدول مقایسهی مقادیر ترکیب
| مقدار n | مقدار r | فرمول | نتیجهی عددی |
|---|---|---|---|
| 5 | 2 | $\binom{5}{2}$ | 10 |
| 6 | 3 | $\binom{6}{3}$ | 20 |
| 7 | 4 | $\binom{7}{4}$ | 35 |
| 8 | 5 | $\binom{8}{5}$ | 56 |
| 10 | 3 | $\binom{10}{3}$ | 120 |
ویژگیهای مهم و اتحادهای ترکیبیاتی
فرمول ترکیب دارای ویژگیهای جالبی است که محاسبات را سادهتر میکند:
- خاصیت تقارن:$\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$. انتخاب r عنصر برای حضور، معادل انتخاب n-r عنصر برای غیبت است.
- اتحاد پاسکال:$\binom{n}{r} = \binom{n-1}{r} + \binom{n-1}{r-1}$. این اتحاد پایهی ساخت مثلث خیام-پاسکال است.
پاورقیها
- 1فاکتوریل (Factorial): حاصلضرب تمام اعداد صحیح مثبت از 1 تا n که با n! نشان داده میشود. طبق قرارداد، 0! = 1 است.
- 2جایگشت (Permutation): تعداد راههای چیدن r عنصر از n عنصر به ترتیب مشخص که با فرمول $P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ محاسبه میشود.
