نماد C(n,r) : کلید محاسبه تعداد ترکیبها در دنیای گسسته
مفهوم پایهای: انتخاب بدون ترتیب
وقتی از میان n شیء متمایز میخواهیم r شیء را انتخاب کنیم و برایمان ترتیب انتخاب مهم نباشد، با مفهوم ترکیب (Combination) سروکار داریم. نماد C(n,r) که گاهی به صورت C(n,r) یا \binom{n}{r} نوشته میشود، تعداد این حالتها را به ما میدهد. برای مثال، اگر بخواهیم از بین 3 دوست (علی، رضا و سارا) دو نفر را برای خرید بستنی انتخاب کنیم، سه حالت ممکن وجود دارد: (علی و رضا)، (علی و سارا)، (رضا و سارا). اینجا ترتیب اهمیتی ندارد و علی و رضا با رضا و علی یکی است. نماد C(3,2) برابر با 3 است.
گامهای محاسبه با مثال عددی
برای درک بهتر، بیایید مقدار C(5,2) را محاسبه کنیم:
- ابتدا فاکتوریلها را مینویسیم: $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$
- $2! = 2 \times 1 = 2$
- $(5-2)! = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$
- طبق فرمول: $C(5,2) = \frac{120}{2 \times 6} = \frac{120}{12} = 10$
| مفهوم | نماد | ترتیب اهمیت دارد؟ | فرمول | مثال با n=4, r=2 |
|---|---|---|---|---|
| ترکیب (Combination) | $C(4,2)$ | خیر | $\frac{n!}{r!(n-r)!}$ | $\frac{4!}{2!2!}=6$ |
| جایگشت (Permutation) | $P(4,2)$ | بلی | $\frac{n!}{(n-r)!}$ | $\frac{4!}{2!}=12$ |
ارتباط با مثلث خیام-پاسکال
اعداد ترکیب C(n,r) در سطر nام و ستون rام مثلث خیام (یا مثلث پاسکال) قرار دارند. این مثلث به صورت زیر ساخته میشود: هر عدد برابر مجموع دو عدد بالای خود در سطر قبلی است. برای نمونه، سطر شماره 4 مثلث (با احتساب سطر صفرم) مقادیر C(4,0)=1، C(4,1)=4، C(4,2)=6، C(4,3)=4 و C(4,4)=1 را نشان میدهد. این ویژگی در بسط دوجملهای $(a+b)^n$ نیز کاربرد دارد: ضرایب بسط، همان اعداد ترکیب هستند.
کاربردهای عملی در زندگی روزمره
فرض کنید در یک مسابقهی طنز، از میان 12 شرکتکننده قرار است 3 نفر به مرحله بعد راه یابند. تعداد حالتهای ممکن برای انتخاب این سه نفر (بدون توجه به اولویت) برابر است با: $C(12,3) = \frac{12!}{3! \times 9!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$ همچنین در منوی رستوران، اگر 8 نوع پیشغذا داشته باشیم و بخواهیم 2 نوع را برای سفارش انتخاب کنیم، $C(8,2)=28$ انتخاب متفاوت داریم. در طراحی تیمهای پروژهای نیز از این نماد استفاده میشود.
چالشهای مفهومی (پرسش و پاسخ)
زیرا تنها یک راه برای انتخاب صفر شیء از هر مجموعهای وجود دارد و آن «انتخاب هیچکدام» است. از نظر فرمول نیز $0! = 1$ و $C(n,0)=\frac{n!}{0! \times n!}=1$.
بله. انتخاب r شیء از n شیء معادل با باقیگذاشتن n-r شیء است. بنابراین تعداد راههای انتخاب r شیء با انتخاب n-r شیء برابر است. مثال: $C(7,2) = C(7,5)$.
خیر. وقتی ترتیب مهم باشد (مثلاً انتخاب سه نفر برای پستهای ریاست، معاونت و دبیری) باید از جایگشت (Permutation) استفاده کنیم. ترکیب صرفاً برای انتخابهای بدون ترتیب به کار میرود. رابطهشان این است: $P(n,r) = C(n,r) \times r!$.
پاورقیها
2مثلث خیام-پاسکال (Pascal's Triangle): آرایهای مثلثی شکل از اعداد که در آن هر عدد برابر مجموع دو عدد بالای خود است و ضرایب بسط دوجملهای را نشان میدهد.
3جایگشت (Permutation): تعداد راههای انتخاب و مرتب کردن r شیء از n شیء متمایز که در آن ترتیب اهمیت دارد.
