ترکیب: هنر انتخاب بدون ترتیب
چرا ترتیب مهم نیست؟ (مفهوم پایهای ترکیب)
تصور کنید میخواهید از بین 3 دوست خود به نامهای علی، سارا و رضا، 2 نفر را برای تشکیل یک تیم دو نفره انتخاب کنید. اگر انتخاب شما علی و سارا باشد، با انتخاب سارا و علی تفاوتی دارد؟ خیر، چون تیم نهایی هر دو یک نفر هستند. اینجا پای ترتیب در میان نیست. در ریاضیات به چنین انتخابی «ترکیب» میگوییم. در مقابل، اگر میخواستیم به این دو نفر مقامهای «مدیر» و «معاون» بدهیم، آنگاه انتخاب علی به عنوان مدیر و سارا به عنوان معاون با حالت برعکس آن متفاوت بود. به حالت دوم «تبدیل»[1] میگوییم.
به بیان ساده، ترکیب: انتخاب اعضا بدون توجه به نظم و تبدیل: انتخاب اعضا همراه با نظم است. نماد علمی ترکیب C(n, r) یا \( \binom{n}{r} \) است که آن را « n انتخاب r » میخوانیم.
فرمول جادویی ترکیب: \( \binom{n}{r} = \frac{n!}{r! (n-r)!} \)
فرمول محاسبه تعداد ترکیبهای rتایی از n شیء متمایز به صورت زیر است:
\[ \binom{n}{r} = \frac{n!}{r! \, (n-r)!} \]در این فرمول، \( n! \) (خوانده میشود n فاکتوریل[2]) حاصل ضرب تمام اعداد طبیعی از 1 تا n است. به عنوان مثال \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \). چرا این فرمول کار میکند؟ ابتدا تعداد حالتها را با در نظر گرفتن ترتیب حساب میکنیم که میشود \( \frac{n!}{(n-r)!} \) (تبدیل). سپس چون در ترکیب ترتیب مهم نیست و هر گروه rتایی را میتوان به \( r! \) طریق مرتب کرد، این تعداد را بر \( r! \) تقسیم میکنیم.
مثال عملی: میخواهیم از بین 5 کتاب متفاوت، 3 کتاب را برای هدیه دادن انتخاب کنیم (ترتیب不重要). تعداد حالتها برابر است با:
\[ \binom{5}{3} = \frac{5!}{3! (5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10 \]یعنی 10 روش مختلف برای انتخاب 3 کتاب از 5 کتاب وجود دارد.
مثلث خیام و ارتباط با ترکیب
اگر مقادیر \( \binom{n}{r} \) را برای nها و rهای مختلف به صورت یک مثلث مرتب کنیم، به «مثلث خیام»[3] (یا مثلث پاسکال) میرسیم. در این مثلث، هر سطر متناظر با یک n (از صفر شروع میشود) و هر ستون متناظر با r است. مثلاً سطر چهارم (n=3) شامل اعداد \( \binom{3}{0}=1 \)، \( \binom{3}{1}=3 \)، \( \binom{3}{2}=3 \) و \( \binom{3}{3}=1 \) است.
| n (سطر) | مقادیر \( \binom{n}{r} \) |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 1 |
| 2 | 1 2 1 |
| 3 | 1 3 3 1 |
| 4 | 1 4 6 4 1 |
| 5 | 1 5 10 10 5 1 |
ویژگی جالب این مثلث این است که هر عدد برابر مجموع دو عدد بالای خود در سطر قبلی است. این ویژگی در محاسبات ترکیبی بسیار کمککننده است.
کاربردهای ترکیب در زندگی روزمره
شاید تصور کنید ترکیب فقط یک فرمول خشک و خالی ریاضی است، اما در موقعیتهای بیشماری از آن استفاده میکنیم، حتی بدون اینکه بدانیم!
- انتخاب تیم پروژه: استاد میخواهد از بین 20 دانشجو، یک تیم 4 نفره تشکیل دهد. تعداد تیمهای ممکن برابر \( \binom{20}{4} \) است.
- منوی غذا: رستوران 10 نوع پیشغذا دارد و شما میخواهید 3 نوع را برای سفارش انتخاب کنید. تعداد حالتها \( \binom{10}{3} = 120 \) است.
- خرید بلیط بختآزمایی: در یک بازی باید 6 عدد از 49 عدد انتخاب کنید. شانس برنده شدن شما \( 1 / \ \binom{49}{6}binom{49}{6} \) \)span> است. است.
- >تشکیل کمیتهتشکیل کمیته: می> میخواهخواهیم ازیم از بین 7 مرد;">7 مرد و و 5baseline;">5 ز> زن، یک کمین، یک کمیتهته 3;">3 نف نفره شاملره شامل حداقل حداقل :baseline;">11 زن زن تشکیل ده تشکیل دهیم. برای حل این مسئیم. برای حل این مسئله ازله از ترکیب ترکیبهایهای مختلف مختلف استفاده می استفاده میکنیمکنیم (ح (حالات:الات: یک یک زن و دو زن و دو مرد، دو ز مرد، دو زن ون و یک مرد یک مرد، سه زن، سه زن).). li>
>❓ چ❓ چرارا \(;">\( \binom \binom{n}{{n}{0}0} = 1 \) = 1 \) و> و eline;">\( \binom{n\( \}{nbinom{n}{n} =} = 1 \) 1 \) است؟span> است؟
>
✅✅ \(;">\( \binom \binom{n}{0}{n}{0} \) \)> به معن به معنای تعداد راهای تعداد راههای انتخابهای انتخاب ص صفر شیفر شیء ازء از n;">n شیء> شیء است. فقط است. فقط یک راه یک راه وجود دارد وجود دارد: «: «هیچ چیهیچ چیزی انتخابزی انتخاب نکن نکنیم».یم». به همین تر به همین ترتیب،تیب، برای برای انتخاب همه انتخاب همه n;">n شیء نیز شیء نیز فقط یک فقط یک راه دار راه داریم:یم: «همه «همه را بر را برداریمداریم».».