تابع ثابت: تابعی که برای همهٔ ورودی‌ها یک خروجی ثابت دارد

تابع ثابت: ساده‌ترین عضو خانواده توابع

تعریف و فرمول‌بندی تابع ثابت

به زبان ساده، تابع ثابت تابعی است که بدون توجه به مقدار ورودی (که آن را x می‌نامیم)، همیشه یک مقدار خروجی ثابت (معمولاً c) تولید می‌کند. اگر نام تابع را f بگذاریم، رابطه آن به صورت زیر نوشته می‌شود:

برای مثال، تابع $f(x) = 5$ یک تابع ثابت است. اگر x = 2 باشد، خروجی $f(2) = 5$ است. اگر $x = -100$ یا $x = 0$ باشد، باز هم خروجی برابر $5$ خواهد بود. این بی‌توجهی مطلق تابع به ورودی، بارزترین ویژگی آن است.

نمودار هندسی: خطی کاملاً افقی

نمودار توابع در دستگاه مختصات $x$ و $y$، تصویر بسیار گویایی از رفتار آنهاست. نمودار تابع $f(x)=c$ یک خط راست کاملاً افقی است که محور $y$ را در نقطه $(0, c)$ قطع می‌کند. این خط با محور $x$ موازی است و هیچ‌گاه آن را قطع نمی‌کند (مگر در حالت خاص $c = 0$ که خود خط بر روی محور $x$ قرار می‌گیرد).

مثال تصویری: تابع $f(x) = -2$ را در نظر بگیرید. اگر نقطه $x=3$ را به تابع بدهیم، جفت‌مرتبط $(3, -2)$ روی نمودار قرار می‌گیرد. به همین ترتیب، تمام نقاطی که مختصات $y$ آنها برابر $-2$ است، بر روی این خط افقی قرار دارند. این خط هرگز بالا یا پایین نمی‌رود، زیرا شیب آن صفر است.

تحلیل دامنه و برد تابع ثابت

دو مفهوم کلیدی در شناخت هر تابع، دامنه (Domain) و برد (Range) هستند:

• دامنه تابع ثابت معمولاً مجموعه اعداد حقیقی ($\mathbb{R}$) است، مگر اینکه مسئله طور دیگری تعریف شده باشد. یعنی می‌توانیم هر عدد حقیقی را به عنوان ورودی به تابع بدهیم.
• برد تابع ثابت بسیار محدود است و فقط یک عضو دارد: همان مقدار ثابت $c$. به عبارت دقیق‌تر: $Range(f) = \{c\}$.

به عنوان مثال، برای تابع $f(x)=7$، دامنه همه اعداد حقیقی و برد فقط عدد $7$ است. این بدان معناست که خروجی تابع هرگز نمی‌تواند $8$ یا $0$ باشد؛ تنها و تنها $7$ است.

مشتق و انتگرال توابع ثابت

در حساب دیفرانسیل و انتگرال، توابع ثابت رفتار بسیار ساده‌ای دارند:

• مشتق: مشتق یک تابع، نرخ تغییرات آن را نشان می‌دهد. از آنجایی که تابع ثابت هیچ تغییری نمی‌کند، نرخ تغییرات آن صفر است. یعنی:
  اگر $f(x) = c$، آن‌گاه $f'(x) = 0$.
• انتگرال: انتگرال[1] یک تابع ثابت، یک تابع خطی است. انتگرال‌گیری معکوس مشتق‌گیری است:
  $\int c \, dx = cx + C$
  که در آن $C$ ثابت انتگرال‌گیری است.

کاربردهای عملی و مثال‌های عینی

شاید در نگاه اول تصور کنید تابع ثابت چندان مفید نیست، اما این ساده‌ترین عضو، در مدل‌سازی بسیاری از پدیده‌های دنیای واقعی نقش دارد:

• فیزیک: فرض کنید یک جسم در حال حرکت با سرعت ثابت $v_0$ را در نظر بگیرید. شتاب این جسم که با $a(t)$ نشان داده می‌شود، یک تابع ثابت بر حسب زمان است: $a(t) = 0$.
• اقتصاد: یک قرارداد اشتراک ماهانه اینترنت با قیمت ثابت $200,000$ ریال را در نظر بگیرید. هزینه ماهانه شما ($C$) تابعی از میزان مصرفتان ($x$) نیست. یعنی $C(x) = 200000$.
• علوم کامپیوتر: در برنامه‌نویسی، گاهی به تابعی نیاز داریم که همیشه یک مقدار مشخص (مثل True یا False) را برگرداند. این توابع که به «توابع ثابت» معروفند، در مراحل دیباگ[2] یا تست نرم‌افزار کاربرد فراوانی دارند.

مقایسه با سایر توابع

چالش‌های مفهومی (پرسش و پاسخ)

پاورقی