رسم تابع با انتقال: جابجایی نمودار بدون تغییر شکل
آشنایی با مفاهیم انتقال افقی و عمودی و انتقال همزمان برای رسم سریع توابع جدید بر اساس توابع مادر
در این مقاله با یکی از مهمترین مفاهیم در رسم توابع ریاضی آشنا میشویم: «انتقال نمودار تابع»1. با یادگیری این تکنیک، میتوانید نمودار توابع پیچیدهتر را تنها با جابجا کردن نمودار توابع سادهتر و شناختهشده (توابع مادر)2، بدون تغییر شکل کلی آنها، بهدست آورید. این روش نهتنها در رسم توابع جبری، بلکه در تحلیل توابع مثلثاتی، نمایی و لگاریتمی نیز کاربرد گستردهای دارد. با مفاهیم انتقال افقی، انتقال عمودی و انتقال همزمان به زبان ساده و با مثالهای گامبهگام آشنا خواهید شد.
۱. انتقال عمودی: حرکت به بالا و پایین
سادهترین نوع انتقال، انتقال عمودی است. فرض کنید تابع مادر $y = f(x)$ را داریم. اگر مقداری ثابت مانند $k$ به خروجی تابع اضافه یا از آن کم کنیم، نمودار به صورت عمودی جابجا میشود.
✨ قانون کلی انتقال عمودی:
برای درک بهتر، تابع مربع $y = x^{2}$ را در نظر بگیرید. نمودار این تابع، یک سهمی با رأس در مبدأ مختصات $(0,0)$ است.
- تابع $y = f(x) + k$: نمودار تابع $f(x)$ به اندازه $k$ واحد به بالا منتقل میشود.
- تابع $y = f(x) - k$: نمودار تابع $f(x)$ به اندازه $k$ واحد به پایین منتقل میشود.
- مثال عملی ۱ (انتقال به بالا): میخواهیم نمودار $y = x^{2} + 3$ را رسم کنیم. در این جا $k = 3$ است. کافی است هر نقطه از نمودار $y = x^{2}$ را ۳ واحد به بالا منتقل کنیم. برای مثال، نقطه $(1,1)$ به $(1,4)$ و رأس $(0,0)$ به $(0,3)$ منتقل میشود. شکل سهمی کاملاً حفظ میشود.
- مثال عملی ۲ (انتقال به پایین): برای رسم $y = x^{2} - 2$، کل نمودار را ۲ واحد به پایین منتقل میکنیم. نقطه $(1,1)$ به $(1,-1)$ و رأس به $(0,-2)$ جابجا میشود.
۲. انتقال افقی: حرکت به چپ و راست
انتقال افقی کمی ظریفتر است. در این نوع انتقال، تغییر به ورودی تابع اعمال میشود.
✨ قانون کلی انتقال افقی:
نکته مهم: علامت درون پرانتز بر خلاف تصور اولیه عمل میکند. $x + h$ یعنی حرکت به چپ (منفیترین جهت محور $x$ها) و $x - h$ یعنی حرکت به راست.
باز هم به تابع مادر $y = x^{2}$ نگاه میکنیم.
- تابع $y = f(x + h)$: نمودار تابع $f(x)$ به اندازه $h$ واحد به چپ منتقل میشود.
- تابع $y = f(x - h)$: نمودار تابع $f(x)$ به اندازه $h$ واحد به راست منتقل میشود.
- مثال عملی ۳ (انتقال به راست): برای رسم $y = (x - 4)^{2}$، طبق قانون بالا ($h=4$)، کل نمودار سهمی $y = x^{2}$ را ۴ واحد به راست منتقل میکنیم. رأس جدید در $(4,0)$ قرار میگیرد.
- مثال عملی ۴ (انتقال به چپ): برای رسم $y = (x + 1)^{2}$، کل نمودار را ۱ واحد به چپ منتقل میکنیم. رأس جدید در $(-1,0)$ خواهد بود.
۳. انتقال همزمان (افقی و عمودی)
در بسیاری از موارد، یک تابع جدید همزمان دچار هر دو نوع انتقال افقی و عمودی میشود. شکل کلی چنین تابعی به صورت $y = f(x - h) + k$ است. در این حالت، ابتدا انتقال افقی و سپس انتقال عمودی را اعمال میکنیم (ترتیب اهمیت ندارد، اما انجام مرحلهای آن را سادهتر میکند).
? قانون کلی انتقال همزمان:
نمودار تابع $y = f(x - h) + k$ از انتقال نمودار $y = f(x)$ به اندازه $h$ واحد در جهت افقی (راست اگر $h \gt 0$) و به اندازه $k$ واحد در جهت عمودی (بالا اگر $k \gt 0$) بهدست میآید.
مثال ترکیبی: فرض کنید میخواهیم نمودار $y = (x - 2)^{3} + 1$ را رسم کنیم. تابع مادر در اینجا $y = x^{3}$ است (یک منحنی S-like شکل که از مبدأ میگذرد).
نمودار تابع $y = f(x - h) + k$ از انتقال نمودار $y = f(x)$ به اندازه $h$ واحد در جهت افقی (راست اگر $h \gt 0$) و به اندازه $k$ واحد در جهت عمودی (بالا اگر $k \gt 0$) بهدست میآید.
- گام اول (انتقال افقی): با توجه به $(x - 2)$، کل نمودار $y = x^{3}$ را ۲ واحد به راست منتقل میکنیم. در این مرحله معادله منحنی $y = (x - 2)^{3}$ است.
- گام دوم (انتقال عمودی): حال، نمودار جدید را ۱ واحد به بالا منتقل میکنیم. بدین ترتیب، نقطه عطف تابع که در ابتدا در $(0,0)$ بود، ابتدا به $(2,0)$ و سپس به $(2,1)$ منتقل میشود. شکل نهایی، همان منحنی مکعبی است که مرکز آن در نقطه $(2,1)$ قرار دارد.
۴. جدول مقایسه انواع انتقال
برای درک بهتر تفاوتها و شباهتهای انواع انتقال، جدول زیر میتواند مفید باشد.| نوع انتقال | فرمول تابع جدید | جهت حرکت (برای $c \gt 0$) | مثال با تابع مادر $y = \sqrt{x}$ |
|---|---|---|---|
| عمودی (به بالا) | $y = f(x) + c$ | بالا | $y = \sqrt{x} + 2$ (۲ واحد به بالا) |
| عمودی (به پایین) | $y = f(x) - c$ | پایین | $y = \sqrt{x} - 1$ (۱ واحد به پایین) |
| افقی (به راست) | $y = f(x - c)$ | راست | $y = \sqrt{x - 3}$ (۳ واحد به راست) |
| افقی (به چپ) | $y = f(x + c)$ | چپ | $y = \sqrt{x + 4}$ (۴ واحد به چپ) |
| همزمان | $y = f(x - h) + k$ | راست/چپ و بالا/پایین | $y = \sqrt{x - 2} + 1$ (۲ به راست، ۱ به بالا) |
۵. کاربرد عملی در توابع مختلف
تکنیک انتقال، محدود به توابع جبری نیست و در تمام خانواده توابع کاربرد دارد.- توابع مثلثاتی: برای رسم $y = \sin(x - \frac{\pi}{2})$ کافی است نمودار سینوس را $\frac{\pi}{2}$ واحد به راست منتقل کنیم. این همان نمودار کسینوس است. به این نوع انتقال، «تغییر فاز»3 نیز گفته میشود.
- توابع نمایی: نمودار $y = 2^{x} - 3$، همان نمودار $y = 2^{x}$ است که ۳ واحد به پایین منتقل شده است. خط مجانب افقی آن نیز از $y=0$ به $y=-3$ منتقل میشود.
- توابع لگاریتمی: برای رسم $y = \ln(x + 2)$، نمودار لگاریتم طبیعی را ۲ واحد به چپ منتقل میکنیم. مجانب قائم آن نیز از $x=0$ به $x=-2$ جابجا میشود.
۶. چالشهای مفهومی (پرسش و پاسخ)
❓ چالش ۱: اگر تابع $y = f(x) = |x|$ را داشته باشیم، تفاوت نمودارهای $y = f(x+2)$ و $y = f(x) + 2$ در چیست؟
✅ پاسخ: در تابع اول ($y = |x+2|$)، نمودار V شکل قدرمطلق $2$ واحد به چپ منتقل میشود و رأس آن در $(-2,0)$ قرار میگیرد. در تابع دوم ($y = |x| + 2$)، نمودار $2$ واحد به بالا منتقل شده و رأس آن در $(0,2)$ خواهد بود.
✅ پاسخ: در تابع اول ($y = |x+2|$)، نمودار V شکل قدرمطلق $2$ واحد به چپ منتقل میشود و رأس آن در $(-2,0)$ قرار میگیرد. در تابع دوم ($y = |x| + 2$)، نمودار $2$ واحد به بالا منتقل شده و رأس آن در $(0,2)$ خواهد بود.
❓ چالش ۲: چرا گاهی اوقات انتقال افقی را برخلاف جهت علامت داخل پرانتز میدانیم؟ به عنوان مثال، چرا $f(x-5)$ یعنی حرکت به راست؟
✅ پاسخ: برای اینکه تابع در نقطه $x$ جدید، مقدار تابع مادر را در نقطه $x-5$ داشته باشد، باید $x$ بزرگتر باشد. یعنی برای دیدن یک مقدار مشخص از تابع، باید $5$ واحد جلوتر (به سمت راست) برویم. به عبارت دیگر، هر نقطه از تابع جدید، $5$ واحد دیرتر (در سمت راستتر) رخ میدهد.
✅ پاسخ: برای اینکه تابع در نقطه $x$ جدید، مقدار تابع مادر را در نقطه $x-5$ داشته باشد، باید $x$ بزرگتر باشد. یعنی برای دیدن یک مقدار مشخص از تابع، باید $5$ واحد جلوتر (به سمت راست) برویم. به عبارت دیگر، هر نقطه از تابع جدید، $5$ واحد دیرتر (در سمت راستتر) رخ میدهد.
❓ چالش ۳: اگر تابعی به صورت $y = 2^{(x-1)} + 3$ باشد، مجانب افقی آن کجا قرار دارد و این مجانب از انتقال کدام مجانب تابع مادر $y = 2^{x}$ بهدست آمده است؟
✅ پاسخ: تابع مادر $y=2^{x}$ دارای مجانب افقی $y=0$ است. انتقال عمودی $+3$ (انتقال افقی تأثیری بر مجانب افقی ندارد) باعث میشود مجانب افقی نیز بههمراه نمودار جابجا شده و به خط $y=3$ منتقل شود.
✅ پاسخ: تابع مادر $y=2^{x}$ دارای مجانب افقی $y=0$ است. انتقال عمودی $+3$ (انتقال افقی تأثیری بر مجانب افقی ندارد) باعث میشود مجانب افقی نیز بههمراه نمودار جابجا شده و به خط $y=3$ منتقل شود.
? نکته پایانی: انتقال نمودار، یک ابزار قدرتمند برای درک بصری توابع است. با شناسایی تابع مادر و تشخیص نوع انتقال (افقی با تغییر درون تابع و عمودی با تغییر بیرون تابع)، میتوان بهسرعت و با دقت بالا، نمودار توابع به ظاهر پیچیده را رسم کرد. این روش، پایه و اساس درک مباحث پیشرفتهتری مانند انبساط، انقباض و انعکاس نمودارها است.
پاورقی
1انتقال نمودار تابع (Graph Translation): به جابجایی یک نمودار در صفحه مختصات، بدون تغییر در اندازه و شکل آن گفته میشود.
2توابع مادر (Parent Functions): سادهترین شکل یک خانواده از توابع هستند که سایر توابع آن خانواده از طریق انتقال، انبساط و ... از آن مشتق میشوند. مانند $y=x^{2}$ برای توابع درجه دوم.
3تغییر فاز (Phase Shift): در توابع مثلثاتی، به انتقال افقی نمودار، تغییر فاز گفته میشود که نشاندهنده جابجایی تابع در محور افقی است.
2توابع مادر (Parent Functions): سادهترین شکل یک خانواده از توابع هستند که سایر توابع آن خانواده از طریق انتقال، انبساط و ... از آن مشتق میشوند. مانند $y=x^{2}$ برای توابع درجه دوم.
3تغییر فاز (Phase Shift): در توابع مثلثاتی، به انتقال افقی نمودار، تغییر فاز گفته میشود که نشاندهنده جابجایی تابع در محور افقی است.
