میانگین موزون: چرا بعضی اعداد وزن بیشتری دارند؟
فرمول و منطق ریاضی میانگین وزنی
در زندگی روزمره، گاهی همه چیز به یک اندازه مهم نیستند. برای مثال، اگر نمرهٔ پایان ترم شما 70% و نمرهٔ پروژه شما 30% از نمره نهایی را تشکیل دهد، منطقی نیست که هر دو را با یک ضریب با هم جمع کنیم. اینجا همان جایی است که میانگین موزون وارد میشود.
فرمول کلی میانگین موزون به این صورت است:
در این فرمول، $x_i$ مقدار دادهها و $w_i$ وزن متناظر با هر داده است.
به عبارت سادهتر، کافی است هر داده را در وزنش ضرب کنیم، حاصلضربها را با هم جمع بزنیم و سپس بر مجموع وزنها تقسیم کنیم. اگر وزنها به صورت درصد باشند، مجموع مخرج کسر برابر 100 خواهد بود.
محاسبه نمرات تحصیلی: رایجترین کاربرد میانگین موزون
فرض کنید در درس آمار، استاد اعلام کرده است که نمرهٔ آزمون میانترم با ضریب 1، آزمون پایانترم با ضریب 2 و تکالیف کلاسی با ضریب 1 در نمره نهایی تأثیر دارند. اگر نمرات شما به ترتیب 18، 14 و 20 باشد، میانگین سادهٔ نمرات شما 17.33 خواهد بود. اما میانگین موزون که بیانگر نمره واقعی شماست، به شکل دیگری محاسبه میشود.
برای حل این مسئله، ابتدا هر نمره را در ضریب (وزن) آن ضرب میکنیم: $(18 \times 1) + (14 \times 2) + (20 \times 1) = 18 + 28 + 20 = 66$ سپس مجموع اوزان یعنی $1+2+1=4$ را حساب میکنیم. در نهایت، حاصل جمع را بر مجموع اوزان تقسیم میکنیم: $66 \div 4 = 16.5$ همانطور که میبینید، نمره نهایی شما 16.5 است که از میانگین ساده کمتر شده، زیرا نمره پایانترم با ضریب بالاتر، وزن بیشتری داشته و نمرهٔ پایینتری بوده است.
| نوع ارزیابی | نمره | ضریب (وزن) | نمره × وزن |
|---|---|---|---|
| میانترم | 18 | 1 | 18 |
| پایانترم | 14 | 2 | 28 |
| تکالیف | 20 | 1 | 20 |
| مجموع وزنها | 4 | ||
| مجموع نمرات وزنی | 66 | ||
| نتیجه: میانگین موزون = 66 ÷ 4 = 16.5 | |||
مثال عینی: خرید میوه و محاسبه قیمت تمام شده
تصور کنید برای یک مهمانی از دو فروشگاه متفاوت سیب خریدهاید. از فروشگاه اول 3 کیلوگرم سیب به قیمت هر کیلو 50,000 تومان و از فروشگاه دوم 2 کیلوگرم سیب به قیمت هر کیلو 70,000 تومان خریدهاید. اگر بخواهیم بدانیم به طور متوسط هر کیلو سیب چقدر برای شما آب خورده است، نمیتوانیم میانگین سادهٔ دو قیمت ((50000+70000)/2 = 60000 تومان) را حساب کنیم، زیرا مقدار خرید شما از هر فروشگاه متفاوت بوده است.
در اینجا وزن همان مقدار (کیلوگرم) خریداری شده است. برای محاسبه میانگین موزون قیمت، باید هزینه کل را بر مقدار کل سیبها تقسیم کنیم:
هزینه کل = $(3 \times 50000) + (2 \times 70000) = 150000 + 140000 = 290000$ تومان
مقدار کل = $3 + 2 = 5$ کیلوگرم
میانگین موزون قیمت = $290000 \div 5 = 58000$ تومان
بنابراین، قیمت متوسط هر کیلو سیب برای شما 58,000 تومان تمام شده است که به میانگین ساده 60,000 نزدیک است اما دقیقاً با آن برابر نیست. این عدد نشان میدهد چون سیب بیشتری از فروشگاه اول با قیمت پایینتر خریدهاید، قیمت متوسط به سمت 50,000 تومان متمایل شده است.
کاربرد در محاسبه نرخ بازده سبد سهام
در بازار سرمایه، اگر فردی در دو سهم مختلف سرمایهگذاری کرده باشد، برای محاسبه میانگین بازده کل سبد سهام خود باید از میانگین موزون استفاده کند. فرض کنید 60% از سرمایه خود را در سهمی با بازده 20% و 40% باقیمانده را در سهمی با بازده 10% سرمایهگذاری کرده باشید. بازده کل سبد شما به این صورت محاسبه میشود:
اگر از میانگین ساده استفاده میکردید، بازده کل را 15% محاسبه میکردید که با واقعیت فاصله دارد. این مثال نشان میدهد که در مسائل مالی، نادیده گرفتن وزنها میتواند به تصمیمگیری اشتباه منجر شود.
چالشهای مفهومی
پاسخ: خیر. وزنها میتوانند هر عدد مثبتی باشند. در مثال خرید سیب، وزنها کیلوگرم (3 و 2) بودند که مجموعشان 5 شد. در مثال نمرات، وزنها ضریب (1، 2، 1) بودند که مجموعشان 4 شد. راز فرمول در تقسیم بر مجموع وزنهاست که نتیجه را به یک عدد قابل فهم تبدیل میکند.
پاسخ: میانگین موزون به سمت دادهای که وزن بیشتری دارد، کشیده میشود. در واقع، هرچه وزن یک داده بیشتر باشد، تأثیر آن در نتیجه نهایی بیشتر خواهد بود. به همین دلیل است که به آن «میانگین موزون» میگویند؛ زیرا دادهها بر اساس وزن خود در نتیجه «وزن» دارند.
پاسخ: هیچکدام. میانگین موزون بسته به این که دادههای با وزن بیشتر، مقادیر بزرگتر یا کوچکتری داشته باشند، میتواند از میانگین ساده بیشتر یا کمتر شود. در مثال نمرات، میانگین موزون (16.5) از میانگین ساده (17.33) کمتر شد چون داده با وزن بیشتر (پایانترم) مقدار کوچکتری داشت. در مثال سبد سهام، میانگین موزون (16%) از میانگین ساده (15%) بیشتر شد چون سهم با وزن بیشتر، بازده بالاتری داشت.
پاورقی
1 میانگین موزون (Weighted Average): نوعی میانگین که در آن بعضی از دادهها با ضریب بزرگتری در نتیجه نهایی مشارکت دارند و این ضریب بیانگر اهمیت یا فراوانی آن داده است.2 وزن (Weight): عددی که به هر داده اختصاص داده میشود تا اهمیت نسبی آن را در مقایسه با سایر دادهها نشان دهد. این وزن میتواند فراوانی، درصد، ضریب یا هر کمیت دیگری باشد.
3 میانگین ساده (Arithmetic Mean): نوعی میانگین که از جمع تمام دادهها و تقسیم آن بر تعداد دادهها به دست میآید و به همه دادهها به یک اندازه اهمیت میدهد.
4 سبد سهام (Stock Portfolio): مجموعهای از سهام شرکتهای مختلف که یک سرمایهگذار خریداری کرده است.
