تاریخچهٔ احتمال: شرح روند شکل‌گیری و توسعهٔ علم احتمال و کاربردهای آن

تاریخچهٔ احتمال: از شرط‌بندی‌های باستانی تا علم پیش‌بینی مدرن

۱. نخستین جرقه‌ها: شانس و تصادف در دوران باستان

مفهوم شانس و تصادف از دیرباز برای بشر آشنا بوده است. باستان‌شناسان تاس‌هایی از استخوان حیوانات (قاپ) را کشف کرده‌اند که مربوط به هزاران سال پیش از میلاد مسیح است. این اشیا نه برای بازی، بلکه گاهی برای پیش‌گویی و ارتباط با خدایان به کار می‌رفتند. با این حال، این نگاه اولیه به شانس، بیشتر جنبه تقدیرگرایانه و خرافی داشت تا علمی. یونانیان باستان، اگرچه در ریاضیات و هندسه پیشگام بودند، اما به دلیل نگاه جبرگرایانه به جهان، کمتر به مطالعه سیستماتیک تصادف پرداختند. آن‌ها معتقد بودند که رویدادها یا حتمی هستند یا غیرممکن، و جایی برای احتمال به عنوان یک درجه از باور در میان این دو، در فلسفه آن‌ها وجود نداشت. برای مثال، ارسطو در کتاب فیزیک خود، رویدادهای تصادفی را ناشی از برخورد پیش‌بینی‌ناپذیر زنجیره‌های علی مختلف می‌دانست، اما هرگز به فکر محاسبه ریاضی این برخوردها نیفتاد.

۲. رنسانس و تولد محاسبات شانس: مسئلهٔ تقسیم عادلانه

در قرن شانزدهم میلادی، جیرولامو کاردانو⁵، ریاضی‌دان، فیزیکدان و قمارباز ایتالیایی، نخستین گام‌های جدی را در مسیر تبدیل شانس به علم برداشت. او در کتاب کتاب بازی با شانس، که پس از مرگش منتشر شد، به تحلیل سیستماتیک بازی‌های قماری مانند تاس و ورق پرداخت. کاردانو برای اولین بار مفهوم «احتمال» را به صورت نسبت نتایج مطلوب به کل نتایج ممکن تعریف کرد و قانون اعداد بزرگ را به طور شهودی بیان نمود: هرچه تعداد دفعات یک آزمایش بیشتر باشد، نسبت وقوع یک پیشامد به احتمال نظری آن نزدیک‌تر می‌شود.

با این حال، نقطه عطف اصلی در تاریخ احتمال، به مسئله‌ای به نام «مسئلهٔ تقسیم عادلانه» برمی‌گردد. در سال ۱۶۵۴، قماری به نام شوالیه دو مره⁶، که مردی اهل ادب و ریاضیات بود، دو مسئله را از دو ریاضی‌دان بزرگ فرانسوی، بلز پاسکال و پیر دو فرما، پرسید. یکی از آن مسائل این بود: اگر دو بازیکن در حال انجام یک سری بازی باشند و به دلیل شرایطی مجبور به توقف پیش از پایان بازی شوند، چگونه باید شرط‌بندی را به طور عادلانه بین خود تقسیم کنند؟ این مسئله ساده، جرقه‌ای برای شکل‌گیری نظریه احتمال شد.

پاسکال و فرما از طریق نامه‌نگاری‌های خود، روش‌های متفاوتی برای حل این مسئله ارائه دادند. پاسکال از روش «مثلث حسابی» خود (که امروزه به مثلث خیام-پاسکال معروف است) و مفهوم «امید ریاضی» استفاده کرد، در حالی که فرما مسئله را با شمارش حالات ممکن حل می‌کرد. این مکاتبات، بنیان‌های نظریه ترکیبیات و احتمال را پی ریخت. برای درک بهتر مسئله، به این مثال ساده توجه کنید:

۳. گسترش قلمرو: از بازی تا جامعه و خطاهای اندازه‌گیری

در سده‌های هفدهم و هجدهم، نظریه احتمال از حیطه بازی‌های قماری فراتر رفت و وارد عرصه‌های دیگری شد. یاکوب برنولی⁷، ریاضی‌دان سوئیسی، در کتاب مهم خود حدس‌زنی هنر که پس از مرگش در سال ۱۷۱۳ منتشر شد، قضیه مهمی را اثبات کرد که بعدها به «قانون اعداد بزرگ» معروف گشت. این قضیه، که به طور صوری توسط سیمئون دنی پواسون⁸ تکمیل شد، بیان می‌کند که با افزایش تعداد آزمایش‌ها، میانگین نتایج مشاهده شده به مقدار مورد انتظار (امید ریاضی) نزدیک و نزدیک‌تر می‌شود. این قضیه پل محکمی بین آمار و احتمال بود.

در ادامه، آبراهام دو مواور⁹، ریاضی‌دان فرانسوی مقیم انگلستان، با مطالعه تقریب توزیع دوجمله‌ای برای تعداد دفعات زیاد، به کشفی بزرگ نائل آمد: «توزیع نرمال» یا منحنی زنگوله‌ای. او در سال ۱۷۳۳، فرمول این توزیع را ارائه داد که امروزه در آمار و علوم اجتماعی کاربرد گسترده‌ای دارد. بعدها، ریاضی‌دانی به نام پیر سیمون لاپلاس¹⁰، که او را «نیوتن فرانسه» می‌نامند، در کتاب نظریه تحلیلی احتمال (۱۸۱۲) تمام یافته‌های پیشین را گردآوری و تعمیم داد. او نظریه احتمال را به مسائل جمعیتی، قضایی و نجومی تعمیم داد و مفهوم «توزیع پیشین» را برای محاسبه احتمال رویدادها با استفاده از داده‌های مشاهده شده به کار گرفت. لاپلاس همچنین «قضیه بیز» را که توسط کشیشی به نام توماس بیز¹¹ کشف شده بود، به شکل امروزی خود تدوین و تعمیم داد. قضیه بیز روشی برای به‌روزرسانی احتمال یک فرضیه با مشاهده شواهد جدید ارائه می‌دهد. برای مقایسه دیدگاه‌های اولیه و میانی، جدول زیر مفید است:

۴. انقلاب بزرگ: بنیان‌های ریاضی و اصل موضوعی

تا اوایل قرن بیستم، نظریه احتمال فاقد یک پایه ریاضی محکم و دقیق بود. بیشتر مفاهیم بر اساس شهود و تعاریف عملیاتی استوار بودند. این وضعیت با کارهای آندره‌ی نیکولاویچ کولموگروف⁴، ریاضی‌دان شهیر روسی، به کلی تغییر کرد. کولموگروف در سال ۱۹۳۳ کتابی به نام مبانی نظریه احتمال منتشر کرد که در آن، احتمال را بر اساس نظریه اندازه و نظریه مجموعه‌ها، به صورت اصل موضوعی بنا نهاد. این کار، احتمال را از یک شاخه تجربی و شهودی به یک شاخه کاملاً صوری و ریاضی تبدیل کرد.

سیستم اصل موضوعی کولموگروف تنها بر سه اصل استوار است که از آن‌ها می‌توان تمام قضایای دیگر احتمال را استخراج کرد. در این سیستم، یک فضای احتمال از سه جزء تشکیل می‌شود: ۱) فضای نمونه ($\Omega$) که مجموعه تمام نتایج ممکن یک آزمایش تصادفی است. ۲) مجموعه پیشامدها ($\mathcal{F}$) که زیرمجموعه‌هایی از فضای نمونه هستند. ۳) تابع احتمال ($P$) که به هر پیشامد یک عدد بین صفر و یک نسبت می‌دهد. سه اصل موضوعه به زبان ساده عبارتند از:

اصل اول (نا منفی بودن) احتمال هر پیشامد، عددی بین صفر و یک است: $ P(A) \ge 0 $.

اصل دوم (یقینی بودن) احتمال رخ دادن تمام فضای نمونه (یعنی وقوع حتمی) برابر با یک است: $ P(\Omega) = 1 $.

اصل سوم (جمع پذیری شمارا) برای دنباله‌ای از پیشامدهای ناسازگار (که اشتراکشان تهی است)، احتمال اجتماع آن‌ها برابر مجموع احتمال‌های تک تک آن‌هاست.

۵. کاربردهای دنیای واقعی: از بیمه تا هوش مصنوعی

امروزه علم احتمال در تمامی ارکان زندگی مدرن نفوذ کرده است. درک کاربردهای آن به درک عمیق‌تر این علم کمک می‌کند. شرکت‌های بیمه با استفاده از جداول مرگ‌ومیر و داده‌های آماری، احتمال وقوع حوادث مختلف مانند تصادف، آتش‌سوزی یا فوت را محاسبه کرده و حق بیمه را تعیین می‌کنند. در پزشکی، احتمال در ارزیابی اثربخشی داروها، تشخیص بیماری (آزمایش‌های تشخیصی با قطعیت ۱۰۰٪ نیستند و بر اساس احتمال عمل می‌کنند) و مطالعات همه‌گیری‌شناسی نقش کلیدی دارد. در اقتصاد و بازارهای مالی، از مدل‌های احتمالی برای قیمت‌گذاری دارایی‌ها (مثل مدل بلک-شولز برای قیمت‌گذاری اختیار معامله) و مدیریت ریسک پرتفوی سرمایه‌گذاری استفاده می‌شود. حتی الگوریتم‌های هوش مصنوعی و یادگیری ماشین که امروزه بسیار پرکاربرد هستند، بر پایه آمار و احتمال بنا شده‌اند؛ برای مثال، موتورهای جستجو، فیلترهای هرزنامه و سیستم‌های تشخیص چهره، همگی از مدل‌های احتمالی برای پیش‌بینی و تصمیم‌گیری استفاده می‌کنند.

چالش‌های مفهومی

پاورقی

¹ شهسواران اروپا (Chevalier de Méré): عنوانی اشرافی برای آنتوان گومبو، نویسنده و ریاضی‌دان آماتور فرانسوی که مسائلش جرقهٔ تحقیقات پاسکال و فرما را زد.

² پاسکال (Blaise Pascal): ریاضی‌دان، فیزیکدان و فیلسوف فرانسوی، یکی از بنیان‌گذاران نظریه احتمال و مخترع ماشین حساب مکانیکی.

³ فرما (Pierre de Fermat): وکیل و ریاضی‌دان شهیر فرانسوی، پایه‌گذار نظریه اعداد مدرن و از بنیان‌گذاران نظریه احتمال.

⁴ کولموگروف (Andrey Kolmogorov): ریاضی‌دان برجستهٔ روس، پدر نظریهٔ مدرن احتمال و واضع سیستم اصل موضوعی آن.

⁵ جیرولامو کاردانو (Girolamo Cardano): دانشمند، ریاضی‌دان و پزشک ایتالیایی عصر رنسانس که اولین تحلیل سیستماتیک از احتمال را انجام داد.

⁶ شوالیه دو مره (Chevalier de Méré): نجیب‌زاده و ریاضی‌دان آماتور فرانسوی که مسئلهٔ تقسیم عادلانه را با پاسکال مطرح کرد.

⁷ یاکوب برنولی (Jacob Bernoulli): یکی از اعضای خاندان مشهور برنولی در ریاضیات، که قضیه طلایی خود (قانون اعداد بزرگ) را اثبات کرد.

⁸ سیمئون دنی پواسون (Siméon Denis Poisson): ریاضی‌دان و فیزیکدان فرانسوی که توزیع پواسون و تعمیم‌هایی بر قانون اعداد بزرگ ارائه داد.

⁹ آبراهام دو مواور (Abraham de Moivre): ریاضی‌دان فرانسوی که بیشتر عمر خود را در انگلستان گذراند و فرمول توزیع نرمال را کشف کرد.

¹⁰ پیر سیمون لاپلاس (Pierre-Simon Laplace): اخترشناس و ریاضی‌دان فرانسوی که نظریه احتمال را به تمام علوم تعمیم داد و آن را به اوج شکوفایی در قرن نوزدهم رساند.

¹¹ توماس بیز (Thomas Bayes): کشیش و ریاضی‌دان انگلیسی که قضیه معروف بیز در مورد احتمال شرطی را کشف کرد.