پیشامد مستقل و وابسته: از تاس انداختن تا پیشبینی فردا
پیشامد مستقل: وقتی تاسها بیخیال هم هستند
به دو پیشامد مستقل میگوییم اگر وقوع یکی از آنها، هیچ تغییری در احتمال وقوع دیگری ایجاد نکند. به عبارت دیگر، نتیجه یک رویداد، هیچگونه اطلاعاتی درباره نتیجه رویداد دیگر به ما نمیدهد. سادهترین مثال برای درک این مفهوم، پرتاب یک سکه یا تاس است.
فرض کنید یک تاس سالم را دو بار پرتاب میکنیم. میخواهیم بدانیم احتمال اینکه در پرتاب اول، عدد 3 بیاید و در پرتاب دوم، عدد 5 چقدر است؟ نتیجه پرتاب اول کاملاً تصادفی است و به هیچ وجه روی نتیجه پرتاب دوم تأثیر نمیگذارد. تاس «حافظه» ندارد که بداند در پرتاب قبلی چه عددی آمده است. بنابراین، این دو پیشامد مستقل هستند.
در زندگی روزمره هم مثالهای زیادی داریم. مثلاً این که امروز در خیابان یک ماشین قرمز ببینید، روی احتمال بارانی بودن هوای فردا تأثیری ندارد. یا این که تیم محبوبتان بازی اول فصل را ببرد، روی نتیجه بازی دوم (در حالت عادی و بدون در نظر گرفتن مسائل روحی) مستقل است.
در مثال تاس، احتمال آمدن 3 در پرتاب اول $P(A)=\frac{1}{6}$ و احتمال آمدن 5 در پرتاب دوم $P(B)=\frac{1}{6}$ است. بنابراین احتمال وقوع هر دو پیشامد برابر است با: $\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$.
پیشامد وابسته: وقتی اتفاقها به هم ربط پیدا میکنند
در مقابل، دو پیشامد وابسته هستند اگر وقوع یکی از آنها، احتمال وقوع دیگری را تغییر دهد. به عبارت دیگر، نتیجه رویداد اول بر نتیجه رویداد دوم تأثیر میگذارد. در این حالت، پیشامدها «حافظهدار» میشوند. یک مثال کلاسیک، خارج کردن مهرهها از یک کیسه بدون برگرداندن آن است.
تصور کنید در یک کیسه، 5 مهره قرمز و 3 مهره آبی داریم. قرار است دو مهره را پشت سر هم و بدون جایگذاری (یعنی مهره اول را برنگردانیم) خارج کنیم. میخواهیم بدانیم احتمال اینکه هر دو مهره قرمز باشند چقدر است؟
در اینجا، نتیجه مرحله اول روی مرحله دوم تأثیر میگذارد. اگر در مرحله اول یک مهره قرمز خارج کنیم، تعداد مهرههای قرمز داخل کیسه کم میشود و در نتیجه احتمال قرمز بودن مهره دوم تغییر میکند. این دو پیشامد وابسته هستند. در زندگی واقعی هم مثالهای زیادی داریم: احتمال این که دیر سر کار حاضر شوید، به وقوع پیشامد «خرابی ماشین» وابسته است. یا احتمال قبولی در یک آزمون، به پیشامد «شب قبل مطالعه کردن» وابسته است.
برای مثال مهرهها: احتمال قرمز بودن مهره اول $P(A)=\frac{5}{8}$ است. حال اگر مهره اول قرمز باشد، 4 مهره قرمز و 3 مهره آبی (جمعاً 7 مهره) باقی میماند. بنابراین احتمال قرمز بودن مهره دوم به شرط قرمز بودن اولی $P(B|A)=\frac{4}{7}$ است. احتمال هر دو قرمز برابر است با: $\frac{5}{8} \times \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}$.
تشخیص مستقل یا وابسته بودن: جدول مقایسه
برای اینکه راحتتر بتوانیم این دو مفهوم را از هم تشخیص دهیم، بهتر است آنها را در یک جدول مقایسه کنیم.
| ویژگی | پیشامد مستقل | پیشامد وابسته |
|---|---|---|
| تعریف | وقوع یکی، در احتمال وقوع دیگری اثری ندارد. | وقوع یکی، احتمال وقوع دیگری را تغییر میدهد. |
| فرمول احتمال اشتراک | $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ | $P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)$ |
| تأثیر "شرط" | $P(B|A) = P(B)$ (احتمال B بدون تغییر است) | $P(B|A) \neq P(B)$ (احتمال B تغییر میکند) |
| مثال روزمره | این که امروز باران ببارد، روی نتیجه پرتاب یک تاس فردا تأثیری ندارد. | این که دیروز باران باریده باشد، روی خیس بودن زمین امروز (و احتمال لیز خوردن) تأثیر میگذارد. |
| شرط نمونهگیری | معمولاً با جایگذاری (مثلاً بیرون آوردن یک کارت و برگرداندن آن به دسته) | معمولاً بدون جایگذاری |
کاربرد عملی: احتمال در تصمیمگیریهای روزمره
فرض کنید برای خرید به فروشگاه رفتهاید و میدانید که احتمال خرید شیر توسط یک مشتری $30\%$ و احتمال خرید نان $40\%$ است. اگر فروشنده متوجه شود افرادی که شیر میخرند، با احتمال $80\%$ نان هم میخرند، این دو پیشامد دیگر مستقل نیستند. او میتواند با مشاهده یک مشتری که شیر خریده، شانس خرید نان توسط او را بسیار بالا پیشبینی کند ($80\%$ در مقابل $40\%$) و مثلاً یک پیشنهاد ویژه برای خرید همزمان ارائه دهد. در پزشکی، اگر بیماری خاصی داشته باشید، احتمال مثبت شدن یک تست تشخیصی افزایش مییابد (وابستگی). در ورزش، شانس برد تیم در بازی بعد ممکن است به نتیجه بازی قبلی وابسته باشد (به دلیل روحیه یا مصدومیت).
یک مثال دیگر: در یک نظرسنجی انتخاباتی، اگر فردی خود را طرفدار حزب الف معرفی کند ($P(A)=0.4$)، احتمال اینکه او به نامزد آن حزب رأی دهد ($P(B)$) بسیار بیشتر از کسی است که خود را طرفدار آن حزب نمیداند. یعنی $P(B|A) \gg P(B)$.
چالشهای مفهومی
پاسخ: خیر. پیشامدهای ناسازگار (مانند آمدن شیر یا خط در یک پرتاب) وقوع همزمانشان غیرممکن است ($P(A \cap B)=0$). اگر آنها مستقل بودند، باید $P(A \cap B)=P(A) \times P(B)$ میشد. از آنجایی که $P(A)$ و $P(B)$ هر دو مثبت هستند، حاصلضرب آنها نمیتواند صفر باشد. بنابراین دو پیشامد با احتمال مثبت، اگر ناسازگار باشند، حتماً وابسته هستند (وقوع یکی، وقوع دیگری را غیرممکن میکند).
پاسخ: خیر. مستقل یا وابسته بودن ربطی به مقدار احتمال ندارد، بلکه به وجود رابطه بین دو پیشامد مربوط است. احتمال بارانی بودن هوا در یک روز خاص میتواند کم باشد ($0.1$)، اما این پیشامد با پیشامد "ابری بودن آسمان" وابسته است. در واقع، $P(\text{باران}|\text{آسمان ابری})$ بسیار بیشتر از $0.1$ خواهد بود.
پاسخ: بله. سادهترین راه، بررسی رابطه $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ است. اگر این برابری برقرار بود، دو پیشامد مستقل هستند. یک راه دیگر هم بررسی احتمال شرطی است: اگر $P(A|B) = P(A)$ (یعنی دانستن B چیزی را درباره A عوض نکند)، آنها مستقل هستند.
پاورقی
1 پیشامد (Event): مجموعهای از پیامدهای یک آزمایش تصادفی که به آن احتمال نسبت داده میشود، مانند «آوردن عدد زوج در پرتاب تاس».
2 پیشامد مستقل و وابسته (Independent and Dependent Events): دو پیشامد که وقوع یکی بر احتمال دیگری تأثیر نداشته باشد (مستقل) یا داشته باشد (وابسته).
3 نظریه احتمال (Probability Theory): شاخهای از ریاضیات که به مطالعه و تحلیل پدیدههای تصادفی میپردازد.
4 احتمال شرطی (Conditional Probability): احتمال وقوع یک پیشامد، با در نظر گرفتن این که پیشامد دیگری حتماً رخ داده است. با نماد $P(B|A)$ نمایش داده میشود.
