تبدیل نامعادله قدر مطلق |u| ≥ a به دو نامعادله جدا
منطق پشت پرده: چرا $|u| \ge a$ به $u \le -a$ یا $u \ge a$ تبدیل میشود؟
برای درک این تبدیل، ابتدا باید مفهوم قدر مطلق را بهخوبی بشناسیم. قدر مطلق یک عدد حقیقی $u$ که با $|u|$ نمایش داده میشود، فاصلهٔ آن عدد از صفر روی محور اعداد است. این فاصله همیشه مقداری نامنفی (صفر یا مثبت) دارد. عبارت $|u| \ge a$ به این معناست که فاصلهٔ $u$ از مبدأ (صفر) بیشتر یا مساوی $a$ واحد است. حال اگر $a$ یک عدد مثبت باشد (شرط $a>0$)، این فاصله فقط در دو ناحیه از محور اعداد میتواند رخ دهد: یا $u$ در سمت راست $a$ قرار دارد ($u \ge a$)، یا در سمت چپ $-a$ قرار دارد ($u \le -a$).
به عبارت دیگر، اگر بخواهیم از صفر به اندازهای حداقل $a$ واحد دور شویم، دو جهت بیشتر نداریم: سمت مثبت (راست) یا سمت منفی (چپ). این دور شدن از مرکز، همان چیزی است که در قالب دو نامعادلهٔ جداگانه نمایش داده میشود. استفاده از ربط "یا" در اینجا بسیار مهم است، زیرا جواب نهایی، اجتماع مجموعه جوابهای این دو نامعادله است.
تجزیه و تحلیل گامبهگام با مثالهای عینی
بهترین راه برای تسلط بر این مفهوم، بررسی مثالهای متنوع است. فرض کنید میخواهیم نامعادله $|x| \ge 5$ را حل کنیم. طبق قانون، این نامعادله به دو بخش تبدیل میشود:
$x \le -5$ \quad \text{یا} \quad x \ge 5$
یعنی مجموعه جواب، همه اعداد حقیقیای هستند که از $-5$ کوچکتر یا مساویاند، یا از $5$ بزرگتر یا مساوی. روی محور اعداد، این دو ناحیه کاملاً مجزا از هم هستند.
مثال پیشرفتهتر: نامعادله $|2x - 3| \ge 7$ را در نظر بگیرید. در اینجا $u = 2x - 3$ و $a = 7$. طبق قاعده، داریم:
حال هر یک از این دو نامعادله را جداگانه حل میکنیم:
- حالت اول:$2x - 3 \le -7 \Rightarrow 2x \le -4 \Rightarrow x \le -2$.
- حالت دوم:$2x - 3 \ge 7 \Rightarrow 2x \ge 10 \Rightarrow x \ge 5$.
بنابراین جواب نهایی مجموعه $\{x \in \mathbb{R} \ | \ x \le -2 \ \text{یا} \ x \ge 5\}$ است.
کاربرد عملی: از تئوری تا حل مسئله
فرض کنید در یک مسئله فیزیک، اندازهٔ سرعت یک ذره (که میتواند در دو جهت مخالف حرکت کند) حداقل $10 \ \text{m/s}$ باشد. اگر سرعت را با $v$ نشان دهیم، نامعادله مربوطه به صورت $|v| \ge 10$ نوشته میشود. این بدان معناست که سرعت ذره یا در جهت مثبت حداقل $10 \ \text{m/s}$ است ($v \ge 10$) و یا در جهت منفی، قدر مطلق آن حداقل $10 \ \text{m/s}$ است ($v \le -10$). این مثال ساده نشان میدهد که چگونه این تبدیل ریاضی به مدلسازی پدیدههای دنیای واقعی کمک میکند.
در هندسه تحلیلی، برای توصیف نقاطی روی محور $x$ که فاصلهشان از مبدأ کمتر یا بیشتر از یک مقدار مشخص است، مستقیماً از همین اصل استفاده میشود. برای فاصلهٔ بیشتر یا مساوی $a$، از دو بازهٔ جداگانه استفاده میکنیم.
مقایسه حالات قدر مطلق (جدول جمعبندی)
| نامعادله اصلی | شرط $a$ | تبدیل معادل | نمایش روی محور |
|---|---|---|---|
| $|u| \ge a$ | $a > 0$ | $u \le -a$ یا $u \ge a$ | دو پرتو رو به بیرون |
| $|u| \le a$ | $a > 0$ | $-a \le u \le a$ | یک بازه بسته |
| $|u| \ge a$ | $a = 0$ | همه اعداد حقیقی ($\mathbb{R}$) | کل خط |
| $|u| \le a$ | $a | مجموعه تهی | بدون نقطه |
چالشهای مفهومی
پاسخ: از آنجایی که قدر مطلق همیشه بزرگتر یا مساوی صفر است، اگر $a$ منفی باشد (مثلاً $-5$)، آنگاه شرط $|u| \ge a$ برای هر عدد حقیقیای برقرار است. در این حالت، دیگر نیازی به تبدیل به دو نامعادله نیست و مجموعه جواب تمام اعداد حقیقی خواهد بود. اما در فرمول اصلی ما شرط $a>0$ است که این حالت را پوشش نمیدهد.
پاسخ: در $|u| \ge a$، ما به دنبال نقاطی هستیم که فاصلهشان از صفر زیاد است. این نقاط در دو سمت مخالف محور قرار دارند و نمیتوانند همزمان در هر دو ناحیه باشند، بنابراین از ربط "یا" (اجتماع) استفاده میکنیم. اما در $|u| \le a$، نقاطی مد نظر هستند که به صفر نزدیکاند و در یک بازهٔ ممتد بین $-a$ و $a$ قرار دارند، بنابراین با "و" (اشتراک) آنها را به صورت $-a \le u \le a$ نشان میدهیم.
پاسخ: بله، در این تبدیل، جهت نامعادلهها مستقیماً از قانون فاصله پیروی میکنند. اما اگر عبارت داخل قدر مطلق خود شامل یک ضریب منفی یا عبارت پیچیدهتری باشد (مثلاً $|-x|$)، پس از اعمال قانون، هنگام حل هر یک از دو نامعادلهٔ جداگانه، ممکن است با توجه به خواص نامعادلات (مثلاً ضرب در عدد منفی)، جهت آنها تغییر کند. خود قانون تبدیل، جهتهای $\le$ و $\ge$ را به همین شکل مشخص میکند.
پاورقی
1 قدر مطلق (Absolute Value): اندازه یک عدد حقیقی بدون در نظر گرفتن علامت آن. برای عدد حقیقی $x$، قدر مطلق به صورت $|x|$ نمایش داده میشود و برابر است با خود $x$ اگر $x \ge 0$ و برابر $-x$ اگر $x .
2 نامعادله (Inequality): یک عبارت ریاضی که نشاندهنده نامساوی بین دو عبارت جبری است. از نمادهایی مانند $<$، $>$، $\le$ و $\ge$ استفاده میکند.
3 اجتماع (Union): در نظریه مجموعهها، اجتماع دو مجموعه، مجموعهای شامل تمام اعضایی است که حداقل در یکی از آن دو مجموعه وجود دارند. با نماد $\cup$ نشان داده میشود.