نامعادله دوگانه: از دو عبارت تا یک زنجیرۀ ریاضی
۱. تعریف و مفهوم نامعادله دوگانه
نامعادله دوگانه در حقیقت راهی فشرده برای نمایش دو نامعادله همزمان است. اگر بخواهیم بگوییم یک عدد مانند \(x\) هم از عدد \(-a\) بزرگتر یا مساوی است و هم از \(a\) کوچکتر یا مساوی، بهجای نوشتن دو عبارت جداگانه:
\( x \ge -a \) و \( x \le a \)
آنها را به صورت یک عبارت زنجیرهای مینویسیم:
\( -a \le x \le a \)
این نمایش یعنی \(x\) در بازهای بین \(-a\) و \(a\) قرار دارد و هر دو شرط باید همزمان برقرار باشند. دروس پایهای ریاضیات دبیرستان، این مفهوم را در مبحث نامعادلات و تعیین دامنه توابع رادیکالی یا گویا به کار میگیرند.
توجه نامعادله دوگانه تنها به شکل \( -a \le u \le a \) نیست. هرگاه دو نامعادله با جهت یکسان داشته باشیم و بتوانیم متغیر را در وسط بنویسیم، یک نامعادله دوگانه ساختهایم. برای نمونه \( 2 \lt 3x-1 \lt 5 \) نیز یک نامعادله دوگانه است.
۲. روشهای حل نامعادلات دوگانه
برای حل یک نامعادله دوگانه، دو رویکرد اصلی وجود دارد. فرض کنید نامعادله \( -2 \le 3x+1 \le 7 \) داده شده است. هر دو روش را گامبهگام بررسی میکنیم.
روش اول: جدا کردن و حل دو نامعادله
نامعادله را به دو بخش جدا میکنیم:
\( -2 \le 3x+1 \) و \( 3x+1 \le 7 \)
هریک را جداگانه حل میکنیم:
از \( -2 \le 3x+1 \) : \( -3 \le 3x \) ⇒ \( -1 \le x \)
از \( 3x+1 \le 7 \) : \( 3x \le 6 \) ⇒ \( x \le 2 \)
جواب نهایی اشتراک دو بازه است: \( -1 \le x \le 2 \).
روش دوم: کار همزمان روی تمام عبارت
در این روش سعی میکنیم متغیر را در وسط تنها کنیم. عملیات یکسانی را به هر سه بخش نامعادله اعمال میکنیم:
گام اول: \( -2 \le 3x+1 \le 7 \) (همه بخشها را \(1\) واحد کاهش میدهیم)
\( -2 -1 \le 3x+1 -1 \le 7 -1 \) ⇒ \( -3 \le 3x \le 6 \)
گام دوم: همه بخشها را بر \(3\) تقسیم میکنیم (چون \(3\gt 0\) جهت نامساوی تغییر نمیکند):
\( \frac{-3}{3} \le \frac{3x}{3} \le \frac{6}{3} \) ⇒ \( -1 \le x \le 2 \)
همان جواب پیشین بهدست آمد. این روش سریعتر است و احتمال خطای محاسباتی را کاهش میدهد.
۳. کاربردهای عملی نامعادله دوگانه
نامعادلات دوگانه فقط یک تمرین کتاب درسی نیستند؛ در بسیاری از زمینههای علمی و عملی دیده میشوند.
? تلورانس در ساخت و تولید: فرض کنید یک کارخانه بلبرینگ تولید میکند. قطر یک بلبرینگ باید \(10 \text{ mm}\) باشد، اما خطای مجاز \(\pm 0.02 \text{ mm}\) است. در این صورت قطر مجاز \(d\) به صورت \( 9.98 \le d \le 10.02 \) بیان میشود.
? دامنه توابع رادیکالی: برای تابع \( f(x)=\sqrt{4-x^2} \) باید عبارت زیر رادیکال غیرمنفی باشد: \(4-x^2 \ge 0 \) ⇒ \(x^2 \le 4\) ⇒ \(-2 \le x \le 2\).
? درجه حرارت استاندارد یک یخچال: دمای داخلی یخچال باید بین \(2^\circ C\) و \(8^\circ C\) باشد: \(2 \le T \le 8\).
? فاصله یک نقطه از مبدأ در مختصات: در یک بعد، فاصله نقطه \(x\) از مبدأ حداکثر \(a\) واحد است: \( -a \le x \le a\). این همان فرمول اصلی مقاله ماست.
| نوع نامعادله | نمادگذاری دوگانه | معنی ریاضی | بازه متناظر |
|---|---|---|---|
| کوچکتر یا مساوی | \( -a \le u \le a \) | \(u \ge -a \) و \( u \le a \) | بسته \([-a , a]\) |
| کاملاً کوچکتر | \( -a \lt u \lt a \) | \(u \gt -a \) و \( u \lt a \) | باز \((-a , a)\) |
| ترکیبی | \( -a \le u \lt a \) | \(u \ge -a \) و \( u \lt a \) | نیمهباز \([-a , a)\) |
۴. چالشهای مفهومی
❓ چالش ۱: چرا نمیتوانیم \( 3 \le x \ge 5 \) را به صورت یک نامعادله دوگانه بنویسیم؟
پاسخ: برای نوشتن دو نامعادله به صورت زنجیرهای، جهت نامساویها باید یکسان باشد. در اینجا یکی \(\le\) و دیگری \(\ge\) است و متغیر نمیتواند همزمان بزرگتر از یک عدد و کوچکتر از عددی دیگر باشد مگر آنکه عدد اول کوچکتر از دومی باشد (که اینجا \(3\lt5\) نیست). این دو نامعادله در واقع تناقض دارند و جوابی ندارند.
❓ چالش ۲: اگر در نامعادله \( -2 \le 5-3x \le 8 \) بخواهیم \(x\) را منزوی کنیم، اولین قدم چیست؟
پاسخ: ابتدا باید عبارت \(5-3x\) را در نظر بگیریم. برای منزوی کردن \(x\)، ابتدا \(5\) را از هر سه بخش کم میکنیم: \(-7 \le -3x \le 3\). سپس همه را بر \(-3\) تقسیم میکنیم. از آنجا که بر عدد منفی تقسیم میکنیم، جهت نامساویها برعکس میشود: \( \frac{7}{3} \ge x \ge -1 \) که بهتر است به صورت \(-1 \le x \le \frac{7}{3} \) نوشته شود.
❓ چالش ۳: در نامعادله \( x^2 \le 9 \) جواب به صورت \( x \le 3 \) و \( x \ge -3 \) است. چرا نمیتوانیم آن را به صورت \( -3 \le x \le 3 \) بنویسیم؟
پاسخ: اتفاقاً دقیقاً به همین صورت میتوان نوشت! اشتباه رایج این است که دانشآموزان پس از جذر گرفتن فراموش میکنند جذر مربع قدر مطلق میدهد. از \(x^2 \le 9\) نتیجه میگیریم \(|x| \le 3\) که معادل \(-3 \le x \le 3\) است. پس این یک نمونه عالی از کاربرد نامعادله دوگانه است.
پاورقیها
1 تلورانس (Tolerance): در مهندسی و ساخت، میزان مجاز انحراف یک کمیت از مقدار استاندارد یا اسمی را گویند. معمولاً با دو عدد مثبت و منفی نمایش داده میشود.
