نامعادله قدر مطلق: از صفر تا صد با مثالهای کاربردی
۱. مفهوم قدر مطلق و ارتباط آن با نامعادله
قدر مطلق یک عدد حقیقی x که با $|x|$ نمایش داده میشود، فاصلهٔ آن نقطه از مبدأ (عدد صفر) روی خط اعداد است. بنابراین قدر مطلق همیشه مقداری نامنفی دارد. برای مثال $|5| = 5$ و $|-3| = 3$. در حالت کلی داریم:
وقتی این مفهوم وارد نامعادله میشود، یعنی به دنبال مجموعهای از مقادیر متغیر میگردیم که فاصلهٔ $u$ از صفر از یک عدد معین کمتر، بیشتر یا مساوی باشد. برای مثال، $|x| \lt 3$ یعنی تمام نقاطی که فاصلهشان تا صفر کمتر از 3 است، یعنی $-3 \lt x \lt 3$.
۲. دو حالت اصلی: $|u| \lt a$ در مقابل $|u| \gt a$
برای حل یک نامعادله قدرمطلقی، ابتدا باید آن را به یکی از این دو شکل استاندارد تبدیل کنیم (که در آن $a$ عددی نامنفی است). شکل کلی حل به صورت زیر است:
| شکل نامعادله | تفسیر هندسی | جواب نهایی (بازه) |
|---|---|---|
| $|u| \lt a$ | فاصلهٔ $u$ از صفر کمتر از $a$ است. | $-a \lt u \lt a$ |
| $|u| \le a$ | فاصلهٔ $u$ از صفر حداکثر $a$ است. | $-a \le u \le a$ |
| $|u| \gt a$ | فاصلهٔ $u$ از صفر بیش از $a$ است. | $u \lt -a$ یا $u \gt a$ |
| $|u| \ge a$ | فاصلهٔ $u$ از صفر حداقل $a$ است. | $u \le -a$ یا $u \ge a$ |
نکته مهم: اگر $a$ عددی منفی باشد، نامعادله یا همیشه برقرار است یا هیچ جوابی ندارد. مثلاً $|x| \lt -2$ جواب ندارد (چرا که فاصله هرگز از عدد منفی کمتر نمیشود).
۳. روشهای حل گامبهگام با مثال عینی
برای حل یک نامعادله قدرمطلقی، دو روش رایج وجود دارد: استفاده از تعریف (حالتبندی) و مربعسازی. در اینجا هر دو روش را با یک مثال بررسی میکنیم.
مثال:$|2x - 1| \le 5$
طبق جدول، $|u| \le a$ معادل $-a \le u \le a$ است. بنابراین:
$-5 \le 2x - 1 \le 5$$-4 \le 2x \le 6$ (با جمع $+1$ به همهجا)
$-2 \le x \le 3$ (با تقسیم بر $2$)
از آنجا که طرفین نامعادله نامنفی هستند، میتوانیم دو طرف را به توان دو برسانیم:
$(2x - 1)^2 \le 25$$4x^2 - 4x + 1 - 25 \le 0$
$4x^2 - 4x - 24 \le 0$
$x^2 - x - 6 \le 0$
$(x - 3)(x + 2) \le 0 \Rightarrow -2 \le x \le 3$
هر دو روش به جواب یکسان $x \in [-2, 3]$ منجر میشوند.
۴. کاربرد عملی: تلرانس در ساخت و تولید
فرض کنید یک کارخانه قطعهای با طول استاندارد 20 میلیمتر تولید میکند. اگر تلرانس مجاز $\pm 0.5$ میلیمتر باشد، یعنی طول قطعهٔ نهایی میتواند بین 19.5 تا 20.5 میلیمتر تغییر کند. این موضوع با یک نامعادله قدرمطلقی به سادگی مدل میشود: $|x - 20| \le 0.5$. مجموعهٔ جواب این نامعادله همان بازهٔ قابل قبول تولید است. این مثال نشان میدهد که نامعادلات قدرمطلقی چگونه در کنترل کیفیت و مهندسی دقیق کاربرد دارند.
۵. چالشهای مفهومی
❓ چالش ۱: چرا در نامعادله $|x| \gt -3$، جواب همهٔ اعداد حقیقی است؟
پاسخ: چون قدر مطلق همیشه نامنفی است، همواره از $-3$ بزرگتر است. بنابراین هر $x$ حقیقی در شرط صدق میکند.
❓ چالش ۲: آیا میتوان دو طرف نامعادله $|x-1| \lt |2x+1|$ را مستقیماً مربع کرد؟ چه نکتهای باید رعایت شود؟
پاسخ: بله، چون دو طرف نامعادله نامنفی هستند، مربعکردن مجاز است و نامعادله را به $(x-1)^2 \lt (2x+1)^2$ تبدیل میکند. البته باید دقت کنیم که این کار ممکن است به افرادیافزایی جواب منجر نشود، ولی در اینجا چون توان دوم همواره معادل قدر مطلق است، کاملاً صحیح است.
❓ چالش ۳: چرا در حل $|x| \lt 0$ میگوییم جواب ندارد؟
پاسخ: قدر مطلق یک عدد هیچگاه منفی نمیشود و تنها میتواند مساوی صفر (در $x=0$) یا مثبت باشد. بنابراین هیچ عددی وجود ندارد که قدر مطلقش از صفر کوچکتر باشد.
پاورقی
1قدر مطلق (Absolute Value): اندازهٔ یک عدد حقیقی بدون در نظر گرفتن علامت آن. برای عدد $x$، قدر مطلق فاصلهٔ $x$ تا صفر روی خط اعداد است.
