عبارت تعریفنشده: جایی که ریاضی متوقف میشود
۱. ریشهیابی: چه زمانی یک عبارت «تعریفنشده» میشود؟
یک عبارت جبری مانند $f(x)$ زمانی تعریفنشده محسوب میشود که پس از جایگذاری مقدار $x$، به یک عملیات ریاضی ناممکن برسیم. به عبارت دیگر، خروجیای در مجموعه اعداد حقیقی برای آن وجود نداشته باشد. این حالت معمولاً به دلیل نقض قوانین پایهای حساب و جبر رخ میدهد. سه دلیل اصلی برای تعریفنشده بودن یک عبارت وجود دارد:
- مخرج صفرتقسیم بر صفر: در ریاضیات، تقسیم هر عدد بر صفر تعریفنشده است. زیرا تقسیم به معنای توزیع یک مقدار به تعداد مشخصی بخش است و صفر بخش کردن، مفهومی ندارد.
- ریشهی زوج منفیفرجهٔ زوج و عدد منفی: در دستگاه اعداد حقیقی، هیچ عدد حقیقی وجود ندارد که با توانی زوج به یک عدد منفی تبدیل شود. بنابراین عباراتی مانند $\sqrt{-4}$ یا $\sqrt[4]{-16}$ تعریفنشده هستند.
- ورودی نامعتبرتوابع خاص: برخی توابع مانند لگاریتم فقط برای ورودیهای مثبت تعریف شدهاند. برای مثال، $\log_a (0)$ و $\log_a (-x)$ برای مقادیر مثبت $x$ تعریفنشده هستند.
۲. سناریوهای رایج برخورد با عبارتهای تعریفنشده
عبارتهای تعریفنشده فقط یک مفهوم تئوری نیستند، بلکه در حل مسائل روزمره ریاضی مدام با آنها مواجه میشویم. شناخت این سناریوها به ما کمک میکند تا دامنهٔ توابع را بهدرستی تعیین کنیم و از خطاهای محاسباتی جلوگیری کنیم.
| نوع تابع / عبارت | شرط تعریفنشدگی | مثال نقض (مقدار x) |
|---|---|---|
| عبارت کسری $\frac{p(x)}{q(x)}$ | هرگاه $q(x)=0$ | $f(x)=\frac{x+2}{x-3}$ در $x=3$ |
| ریشه با فرجهٔ زوج $\sqrt[n]{f(x)}$ | هرگاه $n$ زوج و $f(x) \lt 0$ | $g(x)=\sqrt{x+5}$ در $x=-7$ |
| تابع لگاریتمی $\log_a (f(x))$ | هرگاه $f(x) \le 0$ | $h(x)=\ln (x^2-4)$ در $x=1$ |
| تابع تانژانت $\tan (x)$ | هرگاه $x=\frac{\pi}{2} + k\pi$ | $x=\frac{\pi}{2}$ |
۳. کاربرد عملی: دامنهٔ توابع و معادلات کسری
فرض کنید در یک مسابقهٔ علمی، فرمول محاسبهٔ امتیاز نهایی به صورت $S(t) = \frac{120}{t-10}$ تعریف شده باشد، که در آن $t$ زمان پاسخگویی بر حسب ثانیه است. اگر یک شرکتکننده دقیقاً در $t=10$ ثانیه پاسخ دهد، عبارت $\frac{120}{0}$ ایجاد میشود که تعریفنشده است و نمیتوان امتیازی برای او محاسبه کرد. در اینجا برای معنادار بودن فرمول، باید دامنهٔ تابع را بهصورت $\{t \in \mathbb{R} \mid t \neq 10\}$ تعریف کرد.
مثال دیگر در فیزیک: در رابطهٔ چگالی $\rho = \frac{m}{V}$، اگر حجم یک جسم ($V$) صفر باشد، چگالی تعریفنشده است. این یعنی یک جسم مادی نمیتواند حجم صفر داشته باشد.
۱. $x+2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2$ (زیر رادیکال با فرجهٔ زوج)
۲. $x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$ (مخرج کسر)
بنابراین دامنه: $[-2, 1) \cup (1, +\infty)$.
۴. چالشهای مفهومی (پرسش و پاسخ)
پاورقیها
1تعریفنشده (Undefined): در ریاضیات، به عبارتی اطلاق میشود که طبق اصول موضوعه و قواعد جبر، فاقد یک مقدار عددی مشخص در مجموعه اعداد حقیقی باشد.
2عبارت مبهم (Indeterminate form): عبارتی مانند $\frac{0}{0}$ یا $\frac{\infty}{\infty}$ که در حالت حد، میتواند به مقادیر مختلفی بسته به تابع، میل کند. این عبارات تعریفنشده هستند، اما در محاسبات حد نیاز به رفع ابهام دارند.
