تعیین علامت: مشخص کردن مثبت، منفی، صفر یا تعریف‌نشده بودن مقدار یک عبارت در بازه‌های مختلف x

برای تعیین علامت یک عبارت، نخستین گام یافتن نقاطی است که عبارت در آن‌ها صفر می‌شود (ریشه‌ها) یا تعریف‌نشده است (مثلاً ریشه‌های مخرج). این نقاط، دامنهٔ اعداد حقیقی را به چند بازه تقسیم می‌کنند. در هر بازه، علامت عبارت ثابت است. کافی است در یک نقطهٔ دلخواه از هر بازه، مقدار عبارت را محاسبه کنیم تا از علامت آن در کل بازه آگاه شویم.

برای مثال، عبارت $x-2$ را در نظر بگیرید. این عبارت در $x=2$ صفر می‌شود. محور اعداد به دو بازهٔ $(-\infty , 2)$ و $(2 , +\infty)$ تقسیم می‌شود. با انتخاب عدد 0 از بازهٔ اول، داریم $0-2=-2$ (منفی). با انتخاب عدد 3 از بازهٔ دوم، داریم $3-2=+1$ (مثبت). بنابراین علامت $x-2$ تا قبل از 2 منفی و بعد از آن مثبت است.

هر عبارت خطی به شکل $ax+b$ (با $a \neq 0$) یک ریشهٔ ساده دارد: $x=-\frac{b}{a}$. علامت این عبارات در دو سوی ریشه دقیقاً مخالف هم است. اگر ضریب $a$ مثبت باشد، عبارت برای مقادیر بزرگ‌تر از ریشه مثبت و برای مقادیر کوچک‌تر منفی است. اگر $a$ منفی باشد، این حالت برعکس می‌شود.

یک عبارت درجه دوم مانند $ax^2+bx+c$ با $a\neq0$ می‌تواند صفر، یک یا دو ریشهٔ حقیقی داشته باشد. تعداد ریشه‌ها به علامت $\Delta=b^2-4ac$ وابسته است.

• حالت اول: Δ مثبت – عبارت دو ریشهٔ متمایز $x_1 \lt x_2$ دارد. علامت عبارت در خارج از بازهٔ بین دو ریشه، موافق علامت $a$ و در داخل بازه، مخالف علامت $a$ است.
• حالت دوم: Δ صفر – عبارت یک ریشهٔ مضاعف دارد و برای همهٔ $x$های نامساوی با ریشه، علامت عبارت با علامت $a$ یکسان است.
• حالت سوم: Δ منفی – عبارت هیچ ریشهٔ حقیقی ندارد. در این حالت علامت عبارت برای تمام $x$ها ثابت و برابر علامت $a$ است.

در یک عبارت کسری مانند $\frac{P(x)}{Q(x)}$، نقاط بحرانی شامل ریشه‌های صورت (صفرکننده‌های عبارت) و ریشه‌های مخرج (تعریف‌نشده‌کننده‌های عبارت) هستند. این نقاط روی محور علامت‌گذاری می‌شوند و در هر بازه، علامت عبارت با توجه به علامت صورت و مخرج تعیین می‌گردد. در مخرج، عبارت تعریف‌نشده است و علامتی ندارد.

برای مثال، $\frac{x-1}{x+2}$ را در نظر بگیرید. نقاط بحرانی: $x=1$ (صفرکننده) و $x=-2$ (تعریف‌نشده). محور به سه بازه تقسیم می‌شود. با انتخاب اعداد -3، 0 و 2 به ترتیب علامت‌ها را منفی، مثبت و منفی می‌یابیم.

فرض کنید می‌خواهیم نامعادلهٔ $\frac{x^2-4}{x-1} \ge 0$ را حل کنیم. گام‌ها:

1. یافتن نقاط بحرانی: ریشه‌های صورت: $x^2-4=0 \Rightarrow x=\pm2$. ریشهٔ مخرج: $x-1=0 \Rightarrow x=1$ (تعریف‌نشده).
2. جداسازی بازه‌ها: نقاط -2، 1 و 2 روی محور، بازه‌های $(-\infty,-2)$، $(-2,1)$، $(1,2)$ و $(2,+\infty)$ را می‌سازند.
3. تعیین علامت در هر بازه: با انتخاب اعداد -3، 0، 1.5 و 3 به ترتیب علامت‌ها: مثبت، منفی، مثبت، مثبت.
4. نوشتن جواب: با توجه به نامعادلهٔ $\ge 0$، بازه‌هایی که عبارت مثبت است به همراه نقاط صفر (ریشه‌های صورت) در جواب می‌آیند. نقطهٔ x=1 هرگز در جواب نیست چون عبارت تعریف‌نشده است. جواب: $(-\infty,-2] \cup (1,2] \cup [2,+\infty)$ که با توجه به تکرار 2 می‌توان آن را به‌صورت $(-\infty,-2] \cup (1,+\infty)$ نوشت. البته دقت کنید که در x=2 عبارت صفر است و مجاز می‌باشد.

¹ نامعادله (Inequality): یک رابطهٔ ریاضی است که نشان‌دهندهٔ نامساوی بین دو عبارت جبری است. علائم آن $\gt$، $\lt$، $\ge$ و $\le$ هستند.

² قدرمطلق (Absolute Value): فاصلهٔ یک عدد حقیقی از صفر را روی محور اعداد نشان می‌دهد و همواره مقداری نامنفی دارد. برای هر عدد $a$، $|a| = a$ اگر $a \ge 0$ و $|a| = -a$ اگر $a \lt 0$.