نمایش تابع به صورت جدول: پلی بین ریاضیات و زندگی روزمره
تابع چیست؟ ورودی و خروجی در یک نگاه
قبل از هر چیز، بیایید با مفهوم تابع2 آشنا شویم. به زبان ساده، تابع یک «ماشین» یا «قاعده» است که به هر ورودی، یک خروجی مشخص و منحصربهفرد نسبت میدهد. ورودی را معمولاً با x و خروجی را با y یا f(x) نشان میدهیم.
برای مثال، ماشین «محاسبهی قیمت نهایی پس از تخفیف» را در نظر بگیرید. اگر ورودی، قیمت اولیهی کالا باشد، خروجی، قیمتی است که پس از اعمال یک تخفیف ثابت (مثلاً 10 هزار تومان) به دست میآید. این یک تابع است: به ازای هر قیمت اولیه، فقط یک قیمت نهایی داریم.
حالا سؤال اصلی این است: چگونه میتوانیم این رابطه را به بهترین شکل نشان دهیم؟ یکی از سادهترین و بصریترین روشها، استفاده از جدول است. در نمایش جدولی، ستون سمت راست معمولاً به ورودیها (x) و ستون سمت چپ به خروجیهای متناظر (y) اختصاص مییابد.
از فرمول تا جدول: گامهای عملی برای رسم رابطه
فرض کنید تابعی به صورت $f(x) = x^2 - 3$ داریم. میخواهیم رابطه بین چند ورودی مشخص و خروجیهایشان را در یک جدول نشان دهیم. مراحل کار به این صورت است:
- گام اول: انتخاب ورودیها – چند مقدار ساده و کوچک برای x انتخاب میکنیم. بهتر است اعداد منفی، صفر و مثبت را شامل شود تا تصویر کاملی از رفتار تابع به دست آوریم. برای مثال $x = -2, -1, 0, 1, 2$.
- گام دوم: محاسبه خروجیها – هر یک از ورودیها را در فرمول تابع قرار میدهیم و خروجی متناظر را به دست میآوریم:
- برای $x = -2$: $f(-2) = (-2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$
- برای $x = -1$: $f(-1) = (-1)^2 - 3 = 1 - 3 = -2$
- برای $x = 0$: $f(0) = (0)^2 - 3 = 0 - 3 = -3$
- برای $x = 1$: $f(1) = (1)^2 - 3 = 1 - 3 = -2$
- برای $x = 2$: $f(2) = (2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$
- گام سوم: تکمیل جدول – حالا جفتهای مرتب (x, y) را در قالب سطر و ستون میچینیم.
| ورودی (x) | خروجی (f(x) = x^2 - 3) |
|---|---|
| -2 | 1 |
| -1 | -2 |
| 0 | -3 |
| 1 | -2 |
| 2 | 1 |
کاربرد عملی: جدول نمرات و تحلیل عملکرد تحصیلی
فرض کنید معلم ریاضی، نمرات دانشآموزان را بر اساس نمرات آزمون میانترم و نمرهی پروژه محاسبه میکند. فرمول نهایی به صورت $نمرهی\ نهایی = (نمره\ میانترم \times 0.6) + (نمره\ پروژه \times 0.4)$ است. این یک تابع دو متغیره است، اما میتوانیم برای سادگی، فرض کنیم نمرهی پروژه ثابت و معادل 18 است. در این صورت، تابع به صورت $نهایی(x) = 0.6x + 7.2$ در میآید. جدول زیر نشان میدهد که چگونه با تغییر نمرهی میانترم، نمرهی نهایی تغییر میکند.
| دانشآموز | نمره میانترم (x) | نمره نهایی (y) | وضعیت قبولی |
|---|---|---|---|
| علی | 15 | 16.2 | قبول |
| سارا | 10 | 13.2 | قبول |
| رضا | 7 | 11.4 | مردود |
با نگاه به این جدول، معلم میتواند به سرعت متوجه شود که دانشآموزانی با نمره میانترم بالاتر از 7 (با فرض نمره پروژه 18) قبول میشوند. این یک مثال ساده از تحلیل داده با استفاده از جدول توابع است.
چالشهای مفهومی
❓ سؤال ۱: آیا هر جدولی با دو ستون، یک تابع را نشان میدهد؟
پاسخ: خیر. شرط اصلی تابع این است که به هر ورودی، فقط و فقط یک خروجی نسبت داده شود. اگر در یک جدول، یک ورودی تکراری (مثلاً x=2) دو بار تکرار شده باشد و در هر بار، خروجی متفاوتی داشته باشد (مثلاً یک بار y=5 و بار دیگر y=7)، آن جدول یک تابع را نمایش نمیدهد. این همان قانون یکبهچند بودن ممنوع است.
❓ سؤال ۲: اگر تابع به صورت $y = \pm \sqrt{x}$ باشد، آیا میتوانیم آن را به راحتی در یک جدول نشان دهیم؟
پاسخ: این رابطه یک تابع نیست، زیرا به ازای یک ورودی مثبت (مثلاً x=4)، دو خروجی (y=2 و y=-2) داریم. برای نمایش آن در قالب جدول، باید آن را به دو تابع جداگانه $y = +\sqrt{x}$ و $y = -\sqrt{x}$ تفکیک کنیم و برای هر کدام یک جدول مجزا رسم کنیم. این نشان میدهد که همه روابط، تابع نیستند.
❓ سؤال ۳: چگونه میتوان از روی یک جدول، فرمول یک تابع را حدس زد؟
پاسخ: با بررسی تغییرات بین ورودی و خروجی. به این نکته توجه کنید که آیا با افزایش x به مقدار ثابت، y نیز به مقدار ثابتی افزایش مییابد؟ (تابع خطی) یا اینکه تغییرات شتابدار است؟ (تابع درجه دوم). برای مثال، در جدول اول این مقاله، میبینیم که خروجیها قرینهی یکسانی دارند (f(-2)=f(2)=1) که نشانهی زوج بودن تابع ($x^2$) است.
پاورقی
1تابع (Function): در ریاضیات، تابع رابطهای است که هر عنصر از یک مجموعه (به نام دامنه) را دقیقاً به یک عنصر از مجموعه دیگر (به نام برد) نسبت میدهد.
2تابع (Function): به عنوان یک «قاعده» یا «ماشین ورودی-خروجی» تعریف میشود که برای هر ورودی مجاز، یک خروجی منحصربهفرد تولید میکند.
