تبدیل نامعادله قدر مطلق به نامعادله دوگانه
۱. مفهوم هندسی قدر مطلق: فاصله از مبدأ
قدر مطلق یک عدد حقیقی مانند $x$ که با $|x|$ نمایش داده میشود، در سادهترین تعریف، فاصلهٔ آن عدد از نقطهٔ صفر (مبدأ) روی خط اعداد است[1]. از آنجایی که فاصله همواره مقداری نامنفی است، قدر مطلق نیز همیشه بزرگتر یا مساوی صفر خواهد بود. برای مثال، $|5| = 5$ و $|-3| = 3$. این دیدگاه هندسی کلید درک تبدیل نامعادلههای قدر مطلق است.
حال اگر بگوییم $|u| \le a$ (با $a \gt 0$)، یعنی به دنبال تمام نقاطی مانند $u$ هستیم که فاصلهشان از مبدأ، حداکثر برابر $a$ باشد. این نقاط روی خط اعداد، بازهای از $-a$ تا $+a$ را پر میکنند و خود این دو نقطه نیز در بازه قرار دارند.
۲. قاعده اصلی: چرا $|u| \le a$ معادل $-a \le u \le a$ است؟
همانطور که گفتیم، $|u|$ فاصلهٔ $u$ از صفر است. شرط $|u| \le a$ به این معناست که $u$ نمیتواند بیش از $a$ واحد از صفر فاصله داشته باشد. بنابراین:
- اگر $u$ مثبت یا صفر باشد، $|u| = u$ و شرط به $u \le a$ تبدیل میشود.
- اگر $u$ منفی باشد، $|u| = -u$ و شرط به $-u \le a$ تبدیل میشود که با ضرب در $-1$ (و معکوس شدن علامت نامساوی) به $u \ge -a$ میرسیم.
با ترکیب دو حالت بالا، به نامعادله دوگانه $-a \le u \le a$ میرسیم. این نمایش یعنی $u$ همزمان دو شرط را دارد: هم از $-a$ بزرگتر یا مساوی است و هم از $a$ کوچکتر یا مساوی.
۳. کاربرد عملی: حل نامعادلات ساده
برای درک بهتر، چند نامعادله ساده را با این روش حل میکنیم. کافی است عبارت داخل قدر مطلق را بهعنوان $u$ در نظر گرفته و نامعادله دوگانه را بنویسیم، سپس $u$ را بهتنهایی در وسط عبارت پیدا کنیم.
- مثال ۱:$|x| \le 5$چیپ: گام اول
با استفاده از قاعده: $-5 \le x \le 5$. بنابراین $x$ میتواند هر عددی بین $-5$ و $5$ باشد. - مثال ۲:$|2x - 3| \le 7$
ابتدا نامعادله دوگانه را مینویسیم: $-7 \le 2x - 3 \le 7$. سپس به هر سه بخش، عدد $3$ را اضافه میکنیم: $-4 \le 2x \le 10$. در نهایت همه را بر $2$ (عدد مثبت) تقسیم میکنیم: $-2 \le x \le 5$. - مثال ۳:$|4 - x| \le 1$
نامعادله دوگانه: $-1 \le 4 - x \le 1$. برای جداسازی $x$، ابتدا $4$ را کم میکنیم: $-5 \le -x \le -3$. حال همه را در $-1$ ضرب میکنیم (علامتها برعکس میشوند): $5 \ge x \ge 3$. که به صورت استاندارد مینویسیم: $3 \le x \le 5$.
۴. کاربرد در دنیای واقعی: تلورانس و خطا
فرض کنید دستگاهی دارید که باید قطعهای با طول دقیق $10$ سانتیمتر تولید کند، اما خطای مجاز در تولید $0.2$ میلیمتر است. اگر طول واقعی قطعه را $x$ میلیمتر در نظر بگیریم، شرط پذیرش قطعه به صورت زیر نوشته میشود:
$|x - 100| \le 0.2$
با استفاده از قاعدهٔ تبدیل، این نامعادله به صورت دوگانه درمیآید:
$-0.2 \le x - 100 \le 0.2$
و با اضافه کردن $100$ به همهٔ بخشها:
$99.8 \le x \le 100.2$
این بازه نشان میدهد که طول قطعه باید بین $99.8$ و $100.2$ میلیمتر باشد تا قابل قبول باشد.
۵. مقایسه با سایر حالتهای قدر مطلق
برای درک بهتر، جدول زیر حالتهای مختلف نامعادلات قدر مطلق را با یکدیگر مقایسه میکند.
| شکل نامعادله | معادل (a>0) | نمایش روی خط اعداد |
|---|---|---|
| $|u| \le a$ | $-a \le u \le a$ | یک بازه بسته |
| $|u| \lt a$ | $-a \lt u \lt a$ | یک بازه باز |
| $|u| \ge a$ | $u \le -a$ یا $u \ge a$ | دو نیمخط مجزا |
| $|u| \gt a$ | $u \lt -a$ یا $u \gt a$ | دو نیمخط باز |
۶. چالشهای مفهومی
❓ چالش ۱: چرا در تبدیل $|u| \le a$ به $-a \le u \le a$، شرط $a \gt 0$ ضروری است؟
✅ پاسخ: اگر $a \lt 0$ باشد، عبارت $|u| \le a$ معنایی ندارد زیرا قدر مطلق همواره نامنفی است و نمیتواند از یک عدد منفی کوچکتر باشد. اگر $a = 0$ باشد، تنها $u = 0$ جواب است که با $0 \le u \le 0$ نمایش داده میشود، اما این یک حالت خاص است و قاعده کلی برای $a \gt 0$ تعریف میشود.
❓ چالش ۲: گاهی جواب نهایی به صورت $x \ge -2$ و $x \le 5$ بهدست میآید. آیا این همان $-2 \le x \le 5$ است؟
✅ پاسخ: بله، دقیقاً. نماد $-2 \le x \le 5$ روشی فشرده برای نمایش همزمان دو شرط $x \ge -2$ و $x \le 5$ است. یعنی $x$ باید در هر دو شرط صدق کند.
❓ چالش ۳: اگر داخل قدر مطلق یک عبارت خطی مانند $|ax + b|$ داشته باشیم، آیا میتوانیم مستقیماً بنویسیم $-a \le ax + b \le a$؟
✅ پاسخ: بله، این اولین گام صحیح است. اما فراموش نکنید که پس از آن باید با انجام عملیات جبری (جمع، تفریق، ضرب یا تقسیم) متغیر $x$ را در وسط نامعادله تنها کنید. اگر در حین عملیات، عبارت را در عدد منفی ضرب یا بر آن تقسیم کردید، جهت نامساویها را معکوس کنید.
پاورقی
[1]قدر مطلق (Absolute Value): تابعی است که یک عدد حقیقی را به فاصلهٔ بدون علامت آن از مبدأ نگاشت میکند. به بیان دیگر، برای عدد حقیقی $x$، قدر مطلق برابر $x$ است اگر $x \ge 0$، و برابر $-x$ است اگر $x \lt 0$.
