قوانین دمورگان در مجموعهها: کلید درک روابط مکمل
۱. قانون اول: مکمل اجتماع، اشتراک مکملها
قانون اول دمورگان بیان میکند که مکمل اجتماع دو مجموعه، دقیقاً برابر با اشتراک مکملهای آن دو مجموعه است. به زبان سادهتر، اگر بخواهیم اعضایی را پیدا کنیم که نه در مجموعه A هستند و نه در مجموعه B، این اعضا در اشتراک مکمل A و مکمل B قرار دارند.
فرمول ریاضی این قانون به صورت زیر است:
$(A \cup B)' = A' \cap B'$مثال عملی: فرض کنید در یک کلاس درس، مجموعه A دانشآموزانی هستند که فوتبال دوست دارند و مجموعه B دانشآموزانی که والیبال دوست دارند. مجموعه جهانی3 (U) تمام دانشآموزان کلاس است.
- U = {احمد، سارا، رضا، نگار، علی، مریم}
- A = {احمد، سارا، رضا} (فوتبال دوستها)
- B = {رضا، نگار، علی} (والیبال دوستها)
طبق قانون اول، ابتدا اجتماع دوستان فوتبال و والیبال را پیدا میکنیم: $A \cup B =$ {احمد، سارا، رضا، نگار، علی}. سپس مکمل این اجتماع، یعنی افرادی که نه فوتبال دوست دارند و نه والیبال: $(A \cup B)' =$ {مریم}. از طرف دیگر، مکمل A ($A'$) افرادی هستند که فوتبال دوست ندارند: {نگار، علی، مریم}. مکمل B ($B'$) افرادی هستند که والیبال دوست ندارند: {احمد، سارا، مریم}. اشتراک این دو مکمل ($A' \cap B'$) اعضایی است که در هر دو مکمل وجود دارند: {مریم}. همانطور که میبینید، نتیجه با هم برابر است.
۲. قانون دوم: مکمل اشتراک، اجتماع مکملها
قانون دوم دمورگان، حالت متقارن قانون اول است. این قانون میگوید که مکمل اشتراک دو مجموعه، برابر با اجتماع مکملهای آن دو مجموعه است. به عبارت دیگر، اعضایی که یا در مجموعه A نیستند یا در مجموعه B نیستند (یا در هیچکدام نیستند)، همان اجتماع مکمل A و مکمل B را تشکیل میدهند.
فرمول ریاضی این قانون به صورت زیر است:
$(A \cap B)' = A' \cup B'$مثال عملی: با همان مثال کلاس درس پیش میرویم. اشتراک A و B ($A \cap B$) دانشآموزانی هستند که هم فوتبال و هم والیبال دوست دارند: {رضا}. مکمل این اشتراک ($(A \cap B)'$) همه دانشآموزانی هستند که هر دو ورزش را با هم دوست ندارند (یعنی یا فقط یکی را دوست دارند یا هیچکدام): {احمد، سارا، نگار، علی، مریم}. از طرف دیگر، اجتماع مکملها ($A' \cup B'$) را که قبلاً محاسبه کردیم: $A' =$ {نگار، علی، مریم} و $B' =$ {احمد، سارا، مریم}. اجتماع این دو مجموعه، همه اعضای منحصربهفرد موجود در آنهاست: {احمد، سارا، نگار، علی، مریم}. باز هم مشاهده میکنیم که نتیجه با قانون دوم مطابقت دارد.
۳. کاربرد عملی: سادهسازی عبارات پیچیده
یکی از مهمترین کاربردهای قوانین دمورگان، سادهسازی عبارات مجموعهای و منطقی است. با استفاده از این قوانین میتوانیم عبارات دارای مکمل اجتماع یا اشتراک را به عبارات سادهتری تبدیل کنیم. این موضوع به ویژه در طراحی مدارهای دیجیتال و بهینهسازی عبارات منطقی4 بسیار حیاتی است.
| شرح قانون | فرمول ریاضی | مثال عددی ساده |
|---|---|---|
| مکمل اجتماع | $(A \cup B)' = A' \cap B'$ | $U=\{1,2,3,4\}, A=\{1,2\}, B=\{2,3\}$ $(A \cup B)' = \{1,2,3\}' = \{4\}$ $A' \cap B' = \{3,4\} \cap \{1,4\} = \{4\}$ |
| مکمل اشتراک | $(A \cap B)' = A' \cup B'$ | $U=\{1,2,3,4\}, A=\{1,2\}, B=\{2,3\}$ $(A \cap B)' = \{2\}' = \{1,3,4\}$ $A' \cup B' = \{3,4\} \cup \{1,4\} = \{1,3,4\}$ |
۴. چالشهای مفهومی
پاسخ: بله، این قوانین برای هر تعداد متناهی از مجموعهها قابل تعمیم هستند. برای مثال، برای سه مجموعه A، B و C داریم: $(A \cup B \cup C)' = A' \cap B' \cap C'$ و $(A \cap B \cap C)' = A' \cup B' \cup C'$.
پاسخ: در نمودار ون، برای قانون اول، ناحیه $(A \cup B)'$ ناحیه خارج از هر دو دایره A و B است. از طرف دیگر، $A'$ ناحیه خارج از دایره A و $B'$ ناحیه خارج از دایره B است. اشتراک این دو ناحیه، یعنی ناحیهای که هم خارج از A است و هم خارج از B، همان ناحیه خارج از هر دو دایره است. برای قانون دوم، $(A \cap B)'$ تمام نواحی به جز ناحیه اشتراک دو دایره است. $A' \cup B'$ نیز اجتماع نواحی خارج از A و خارج از B است که دقیقاً همان تمام نواحی به جز ناحیه اشتراک را پوشش میدهد.
پاسخ: بله، قوانین دمورگان در همه حالات، از جمله حالات حدی، برقرار هستند. برای مثال، اگر $B = U$ (مجموعه جهانی)، آنگاه قانون اول به این صورت در میآید: $(A \cup U)' = A' \cap U'$. میدانیم $A \cup U = U$ و $U' = \varnothing$ (مجموعه تهی). همچنین $A' \cap \varnothing = \varnothing$. بنابراین دو طرف تساوی برابر $\varnothing$ هستند.
پاورقی
1 واژه فارسی (De Morgan's Laws): قوانینی در جبر مجموعهها و منطق که توسط آگوستوس دمورگان، ریاضیدان بریتانیایی، فرموله شد.2 واژه فارسی (Computer Science): مطالعهٔ نظری، طراحی و کاربرد رایانهها و سیستمهای محاسباتی.
3 واژه فارسی (Universal Set): مجموعهای که همهٔ اشیاء مورد نظر در یک بحث خاص را در بر میگیرد.
4 واژه فارسی (Logical Expressions): عباراتی که با استفاده از متغیرهای منطقی و عملگرهایی مانند و، یا و نقیض ساخته میشوند.
